Falls ihr die Ebenengleichungen umformen wollt, findet ihr die Erklärungen im Artikel zum Ebenengleichungen umformen. Show Koordinatenform
Normalenform
Beispiel
Passende Themen
Die Normalenform der Ebene beschreibt die Lage einer Ebene im Raum nicht durch einen Stützvektor und zwei Spannvektoren, sondern durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor. Die Ebene E sei in Parameterform gegeben durch Der Normalenvektor ist orthogonal zu den Spannvektoren, daher setzt man an: Die Normalenform der Ebene lautet dann: Beispiel: Für den Normalenvektor gilt: Das führt auf folgendes Gleichungssystem: Die Normalengleichung lautet daher: Ausmultiplizieren des Skalarprodukts liefert die Koordinatengleichung der Ebene: E: - 2x1 + x2 + x3 + 2 + 0 - 1= 0 E: - 2x1 + x2 + x3 = - 1 2.) Umwandlung einer Ebenengleichung in Koordinatenform in die NormalenformDie Parameter a, b, c in der Koordinatengleichung der Ebene sind die Koordinaten des Normalenvektors. Als Stützvektor kann man die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Ebene nehmen. Mithilfe von Stützvektor und Richtungsvektor kann man dann die Normalenform der Ebene aufschreiben: E: 3x1 - 4x2 + 2x3 = 6
Damit ergibt sich folgende Normalengleichung: 3.) Hesse'sche Normalenform Die Hesse'sche Normalenform (HNF) ist eine Normalenform, bei der der Normalenvektor den Betrag 1 besitzt. Aus jeder Normalenform läßt sich durch Division durch den Betrag des Normalenvektors leicht eine HNF gewinnen. Die HNF spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung des Abstands eines Punktes von einer Ebene Beispiel:Normalenform:
Hesse'sche Normalenform: Welche Vorteile hat die Normalenform?Vorteil der Darstellung in Normalenform
Zwar erfordert die Bestimmung des Normalenvektors zuerst ein bisschen Rechnerei, doch lohnt sich der Aufwand rasch. Mittels des Normalenvektors lassen sich dann z.B. sehr einfach Schnittwinkel berechnen und die Normalenform einer Ebene erleichtert Abstandsberechnungen ungemein.
Warum funktioniert die Hessesche Normalenform?Die Hessesche Normalform spielt vor allem bei der Berechnung des Abstand eines Punktes von einer Ebene eine Rolle. Wenn man einen beliebigen Punkt in die Hessesche Normalform einer Ebene einsetzt, erhält man als Ergebnis den Abstand dieses Punktes von der Ebene.
Wie sieht die Normalenform aus?Die Normalenform, Normalform oder Normalengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Normalenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt.
Wann braucht man die Normalenform?Die Normalform (auch Normalenform) ist eine Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Sie bietet sich dann an, wenn bereits ein Normalenvektor bekannt ist.
|