Wieso normalenform gleich 0

Falls ihr die Ebenengleichungen umformen wollt, findet ihr die Erklärungen im Artikel zum Ebenengleichungen umformen.

Inhaltsverzeichnis Show

Koordinatenform
Normalenform
Passende Themen
Welche Vorteile hat die Normalenform?
Warum funktioniert die Hessesche Normalenform?
Wie sieht die Normalenform aus?
Wann braucht man die Normalenform?

Koordinatenform

Wenn a=0 ist die Ebene parallel zur x-Achse
Wenn b=0 ist die Ebene parallel zur y-Achse
Wenn c=0 ist die Ebene parallel zur z-Achse
Wenn d=0 verläuft die Ebene durch den Koordinatenursprung.

Normalenform

n ist der Normalenvektor, also ein Vektor der senkrecht auf der Ebene steht.
a ist einfach ein "Aufpuntk", also ein Punkt der auf der Ebene liegt.

Beispiel

Passende Themen

Ebenengleichungen umformen
Parameterform
Spurpunkte
Lage Gerade und Ebene bestimmen
Lage Ebene und Ebene bestimmen
Abstand Punkt und Ebene

Die Normalenform der Ebene beschreibt die Lage einer Ebene im Raum nicht durch einen Stützvektor und zwei Spannvektoren, sondern durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor.
Der Normalenvektor ist dabei ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht und somit die 'Ausrichtung' der Ebene im Raum beschreibt. Sein Betrag ist zunächst beliebig (aber ungleich 0).1.) Umwandlung einer Ebenengleichung in Parameterform in die Normalenform

Die Ebene E sei in Parameterform gegeben durch

Der Normalenvektor ist orthogonal zu den Spannvektoren, daher setzt man an:

Man erhält so ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen für die 3 Koordinaten n1, n2, n3 des Normalenvektors. Eine der Koordinaten ist somit frei wählbar.
Die Normalenform der Ebene lautet dann:

Beispiel:

Für den Normalenvektor gilt:

Das führt auf folgendes Gleichungssystem:

Wählt man nun n3 zu 1, so ergibt sich n2 = 1 und n1 = - 2.
Die Normalengleichung lautet daher:

Ausmultiplizieren des Skalarprodukts liefert die Koordinatengleichung der Ebene:

E: - 2x1 + x2 + x3 + 2 + 0 - 1= 0

E: - 2x1 + x2 + x3 = - 1

2.) Umwandlung einer Ebenengleichung in Koordinatenform in die Normalenform

Die Parameter a, b, c in der Koordinatengleichung der Ebene sind die Koordinaten des Normalenvektors. Als Stützvektor kann man die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Ebene nehmen. Mithilfe von Stützvektor und Richtungsvektor kann man dann die Normalenform der Ebene aufschreiben:

Beispiel:

E: 3x1 - 4x2 + 2x3 = 6

Als Normalenvektor kann man

, als Stützvektor

verwenden.

Damit ergibt sich folgende Normalengleichung:

3.) Hesse'sche Normalenform

Die Hesse'sche Normalenform (HNF) ist eine Normalenform, bei der der Normalenvektor den Betrag 1 besitzt. Aus jeder Normalenform läßt sich durch Division durch den Betrag des Normalenvektors leicht eine HNF gewinnen. Die HNF spielt eine wichtige Rolle bei der Bestimmung des Abstands eines Punktes von einer Ebene

Beispiel:

Normalenform:

Betrag des Normalenvektors:

Hesse'sche Normalenform:

Welche Vorteile hat die Normalenform?

Vorteil der Darstellung in Normalenform Zwar erfordert die Bestimmung des Normalenvektors zuerst ein bisschen Rechnerei, doch lohnt sich der Aufwand rasch. Mittels des Normalenvektors lassen sich dann z.B. sehr einfach Schnittwinkel berechnen und die Normalenform einer Ebene erleichtert Abstandsberechnungen ungemein.

Warum funktioniert die Hessesche Normalenform?

Die Hessesche Normalform spielt vor allem bei der Berechnung des Abstand eines Punktes von einer Ebene eine Rolle. Wenn man einen beliebigen Punkt in die Hessesche Normalform einer Ebene einsetzt, erhält man als Ergebnis den Abstand dieses Punktes von der Ebene.

Wie sieht die Normalenform aus?

Die Normalenform, Normalform oder Normalengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. In der Normalenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt.

Wann braucht man die Normalenform?

Die Normalform (auch Normalenform) ist eine Möglichkeit, Geraden oder Ebenen durch eine Vektorgleichung darzustellen. Sie bietet sich dann an, wenn bereits ein Normalenvektor bekannt ist.