Die wahrscheinlich einfachste Form einer Funktion, die du im Mathe-Unterricht lernst, ist die lineare Funktion. Wir erklären dir hier die wichtigsten Begriffe, die du im Zusammenhang mit linearen Funktionen wissen musst. Show
Lineare Funktion: Darstellung linearer ZusammenhängeMit jeder Schokoladentafel, die ich für 1,20 Euro kaufe, wird der Preis, den ich bezahlen muss, um 1,20 Euro größer. So ein linearer Zusammenhang wird mit einer linearen Funktion dargestellt. Sie beschreibt eine gleichmäßige Zu- oder Abnahme. Was genau eine lineare Funktion ist und wie du sie berechnest, haben wir hier für dich zusammengestellt. Inhaltsverzeichnis:
Definition: Was ist eine lineare Funktion?Eine lineare Funktion ist eine ganzrationale Funktion mit dem Grad 1. Sie stellt einen linearen Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und dem Wertebereich her. Linear bedeutet, dass es sich um eine gleichmäßige Zu- oder Abnahme handelt. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Sie kann steigend, fallend oder waagerecht sein. Was eine lineare Funktion ist, lässt sich am besten an einem Beispiel erklären: Möchtest du im Supermarkt eine Flasche Limonade kaufen, kostet sie 1,50 Euro. Kaufst du zwei, musst du das doppelte bezahlen, also 3,00 Euro. Den Zusammenhang zwischen der Anzahl an Limonaden und dem Preis kannst du am besten in einer Wertetabelle darstellen:
Die FormelDie Formel der linearen Funktion ist y=m*x+t. m ist die Steigung, x die Variable und t ist der y-Achsenabschnitt.  Loading... Die Steigungm ist die Steigung der linearen Funktion. Sie gibt an, wie schnell sich die Funktionswerte verändern. Es gilt: m>0 → die Gerade steigt m=0 → die Gerade ist waagerecht m<0 → die Gerade fällt Die einfachste Möglichkeit, die Steigung zu bestimmen, ist das Steigungsdreieck. Du wählst zwei Punkte auf der Geraden: P und Q . Durch diese beiden Punkte ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck, dass du einzeichnest. Das ist das Steigungsdreieck. Nun teilst du die Länge der Senkrechten Loading... mit der Länge der Waagerechten Loading... Loading... Wenn die Steigung zum Beispiel -5 ist, gehst du im Steigungsdreieck von einem Punkt immer einen nach rechts und 5 nach unten. Wenn die Steigung 3 ist, gehst du eine Einheit nach rechts und 3 nach oben. Du musst aber nicht jedes Mal wirklich ein Koordinatensystem mit dem Steigungsdreieck zeichnen. Die Steigung lässt sich auch mit der Formel Loading... berechnen. In unserem Beispiel kannst du berechnen: Loading... Die Steigung ist also 1,50. Der y-AchsenabschnittWie oben schon beschrieben, hat die lineare Funktion nicht nur die Steigung, sondern auch einen y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, in dem die Gerade die y-Achse schneidet. Den y-Achsenabschnitt kannst du natürlich einfach im Koordinatensystem ablesen. Aber du kannst ihn auch berechnen. Wenn wieder zwei Punkte gegeben sind, berechnest du wie oben beschrieben die Steigung. Du setzt die Steigung und einen der beiden Punkte in die Gleichung y=m*x+t ein. Dann löst du die Gleichung nach t auf und du hast den y-Achsenabschnitt. Wir haben für unser Beispiel die Steigung ja bereits bestimmt. Wir setzen also die 1,50 für m ein und den Punkt (6︱4). Dann haben wir die Gleichung 6= 1,50*4 + t. In diesem Fall ist die Rechnung ziemlich einfach. Da 1,50*4= 6 ist, ist der y-Achsenabschnitt 0. Geraden, die durch den Punkt (0︱0) verlaufen, nennt man Ursprungsgerade. Sie gehen durch den Ursprung des Koordinatensystems. Geradengleichung aufstellenJe nachdem, welche Angaben du bereits hast, gibt es verschiedene Möglichkeiten, eine Geradengleichung f(x)= m*x + t aufzustellen:
Geradengleichung aus einem Punkt und der Steigung aufstellenWenn du einen Punkt P (x︱y) und die Steigung m gegeben hast, kannst du vorgehen, wie wenn du den y-Achsenabschnitt bestimmen möchtest. Du setzt m und den Punkt in die Funktion ein und löst nach t auf. Dann kannst du die Zahlen für m und t in den Funktionsterm einsetzen. Beispiel: m = 3 und P (-1︱1) Setze m und P in die Gleichung ein und löse nach t auf: 1 = 3*(-1) + t 1= -3 +t ︱+3 4= t Die Geradengleichung lautet: f(x)=3*x + 4 Geradengleichung aus einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt aufstellenAuch hier kannst du den Punkt P (x︱y) und den y-Achsenabschnitt in die Funktion einsetzen. Nun löst du nach m auf und erhältst somit die Steigung, die du mit t in den Funktionsterm einsetzt. Auch hier haben wir ein Beispiel: Gegeben ist t= -2 und P (2︱1). Das setzen wir wieder in die Gleichung ein und lösen dieses Mal nach m auf. 1= m*2+2 ︱-2 -3= m*2 ︱:2 -1,5= m Die Geradengleichung lautet in diesem Fall: f(x)= -1,5*x + 2 Geradengleichung aus zwei Punkten aufstellenWenn du nur zwei Punkte gegeben hast, dauert das Aufstellen der Geradengleichung ein bisschen länger, ist aber trotzdem nicht schwer. Zunächst berechnest du die Steigung mit der Formel Loading... Dann kannst du die Steigung und einen Punkt wieder in die Gleichung einsetzen und nach t auflösen. Beispiel: Gegeben sind die Punkte P (-1︱1) und Q (2︱3). Wir berechnen die Steigung: Loading... Jetzt können wir m und den Punkt Q in die Gleichung einsetzen und nach t auflösen: Loading... Die Geradengleichung lautet: Loading... NullstellenUm die Nullstelle, also den Schnittpunkt mit der x-Achse, zu bestimmen, gehst du ähnlich vor, wie beim Bestimmen des y-Achsenabschnitts. Je nachdem, kannst du die Nullstelle ganz einfach im Koordinatensystem ablesen. Der y-Wert jeder Nullstelle ist 0. Deshalb kannst du y=0 in die Funktionsgleichung einsetzen. Dann löst du die Gleichung nach x auf und erhältst den x-Wert der Nullstelle. Wir schauen uns das mal am Beispiel der Funktion f(x)=2*x+5 an: 0= 2*x+5 ︱-5 -5= 2*x ︱:2 -2,5= x Die Nullstelle der Funktion f(x)=2*x+5 liegt also im Punkt P (-2,5︱0). Eine waagerechte Gerade mit der Funktion f(x)=t hat keine Nullstellen. Die einzige Ausnahme ist f(x)= 0. Diese Funktion ist identisch mit der x-Achse und hat deshalb unendlich viele Nullstellen. Lage von Geraden: Schnittpunkt oder parallel?Geraden können steigen, fallen oder waagerecht sein. Wenn zwei lineare Funktionsgleichungen gegeben sind, kann man sie darauf untersuchen, ob sie sich schneiden, oder ob sie parallel zueinander liegen. Zwei Geraden, die parallel zueinander liegen, haben dieselbe Steigung. Wenn auch der y-Achsenabschnitt derselbe ist, sieht man, dass die Funktionen identisch sind. Hier eine Übersicht, wann Geraden parallel oder identisch sind, oder einen Schnittpunkt haben:
Schnittpunkt berechnenTeilweise kannst du den Schnittpunkt einfach im Koordinatensystem ablesen. Du kannst ihn aber auch berechnen. Dafür setzt du die beiden Funktionsgleichungen der Geraden gleich und löst das lineare Gleichungssystem nach x auf. Nun kannst du das x in eine der beiden Funktionen einsetzen und erhältst den y-Wert des Schnittpunktes. Um zu kontrollieren, ob du richtig gerechnet hast, setzt du den x-Wert auch noch in die zweite Funktion ein. Beispiel: f(x)= 5*x + 2 h(x)= 1*x + 3 5*x+2 = 1*x + 3 ︱-1x 4*x + 2 = 3 ︱-2 4*x = 1 ︱:4 x = 0,25 y= 5*0,25 + 2 = 1,25 + 2 = 3,25 Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt im Punkt P (0,25︱3,25). Aber nicht jedes lineare Gleichungssystem hat einen Schnittpunkt. Wenn kein eindeutiges x herauskommt, spricht man davon, dass die Geraden windschief sind. Steigungswinkel berechnenManchmal kann es nicht nur interessant sein, die Steigung einer Geraden zu kennen. Man kann auch den Steigungswinkel berechnen. Der Steigungswinkel wird mit Loading... bezeichnet. Wenn du an eine steigende Gerade ein Steigungsdreieck zeichnest, ist das der Winkel, der links vom rechten Winkel an der Geraden liegt. Loading... Da die Winkelsumme eines Dreiecks immer 180° ist, und im Steigungsdreieck ein 90°-Winkel gegeben ist Loading... Wenn die Funktion eine positive Steigung hat, berechnest du den Steigungswinkel mit Loading... Bei einer Funktion mit negativer Steigung berechnest du den Steigungswinkel mit Loading... Weil du sonst ein negatives Ergebnis rausbekommen würdest, musst du plus die 180° rechnen. Denn es gilt: Winkel können nicht negativ sein. Du kannst nicht nur Steigungswinkel berechnen, sondern auch jeweils den Winkel zur x-Achse und zur y-Achse. Diese Winkel nennt man dann Schnittwinkel. Weitere Fragen:Was ist eine lineare Funktion?Eine lineare Funktion beschreibt immer einen linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen. Diese Variablen werden meistens als x und y bezeichnet. Das kann zum Beispiel der Zusammenhang zwischen einer Anzahl und dem Preis sein. Wie sieht eine lineare Funktion aus?Der Funktionsterm einer linearen Funktion lautet f(x)=m*x + t. Graphisch dargestellt sind lineare Funktionen Geraden, die steigen, fallen oder waagerecht sind. Wie löst man eine lineare Gleichung?In einem linearen Gleichungssystem steht auf jeder Seite des Gleichzeichens eine lineare Funktion. Um das Gleichungssystem zu lösen, führt man auf beiden Seiten dieselben Rechenschritte durch und löst so nach x auf. Überblick:
Unsere Reihe "Einfach erklärt"Dir fehlt der Überblick beim Thema Funktionen? Kein Problem! Check mal diese Artikel:
Welche Arten von linearen Funktionen gibt es?Es gibt drei Hauptformen von linearen Gleichungen: Punkt-Steigungs-Form, Normalform und Hauptform der Geradengleichung.
Wie findet man heraus ob eine Funktion linear ist?Lineare Gleichungen erkennst du daran, dass nur ein einfaches x vorkommt. Das x wird Variable genannt. Hier siehst du einige Beispiele für lineare Gleichungen. Die folgenden Beispiele sind keine linearen Gleichungen, weil das x mit einer Hochzahl oder gar nicht vorkommt.
Was muss man alles über lineare Funktionen wissen?Die Funktionen, deren Graphen die Steigung Null haben, heißen konstante Funktionen. Alle Punkte auf dem Graphen der konstanten Funktion haben dieselbe y-Koordinate. Ist die Steigung größer als Null, steigt die Gerade. Ist die Steigung kleiner als Null, fällt die Gerade.
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Was gehört alles zu lineare Funktion?
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