Hallo, um die Aufgabe auf dem Bild geht es, und zwar um die b). Ich komme da einfach nicht weiter. Eine Mitschülerin hat es mit einem Gleichungssystem versucht, ist damit aber nicht zu einem Ergebnis gekommen. Eine andere Mitschülerin hatte die Idee, eine Gerade durch den Schwerpunkt des Dreiecks zu berechnen oder aber alle drei Gleichungen der Beträge der Vekoren gleichzesetzen. Aber irgendwie sind das alles sehr umständliche und komplizierte Rechenwege. Hört sich zwar nicht so an, ist aber so, wenn man es ausprobiert. Gibt es da vielleicht einen einfacheren Ansatz? Show
Vielen Dank im Voraus!! gefragt 03.01.2021 um 16:59 1 Antwortalle Punkte im Dreieck haben vom Umkreismittelpunkt den gleichen Abstand. Vll. kommst du damit weiter Diese Antwort melden Link geantwortet 03.01.2021 um 17:08 Eine Gerade m heißt Mittelsenkrechte von AB, wenn sie durch den Mittelpunkt von AB geht und senkrecht zu AB verläuft. Die Mittelsenkrechte von AB ist die Ortslinie aller Punkte, die von zwei festen Punkten A und B gleich entfernt sind. Eng mit der Mittelsenkrechte verwandt ist das Lot eines Punktes P auf eine Gerade g. Darunter versteht man die zu g senkrechte Gerade durch P. Die beiden
Parallelen einer Geraden im Abstand d bestehen aus der Menge aller Punkte, die von einer festen Geraden den Abstand d haben. zu zwei parallelen Geraden g und h die Ortslinie aller Punkte, die von den beiden parallelen Geraden den gleichen Abstand haben. Eine Gerade w heißt Winkelhalbierende eines Winkels a, wenn sie den Winkel a halbiert. Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Ortslinie aller Punkte, die von den beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand haben. Der Kreis um M mit dem Radius r besteht aus der Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M die Entfernung r haben. V.03 | AbständeEs gibt drei wichtige Abstände: 1.Abstand Punkt-Punkt, 2.Punkt-Gerade, 3.Abstand Punkt-Ebene. Die Entfernung von allem anderen führt man auf diese ersten drei zurück. (Ausnahme bilden zwei windschiefe Geraden. Man kann deren Abstand berechnen, in dem man entweder eine Formel anwendet oder die Lotfußpunkte bestimmt.) In eine Prüfung in Mathe zu gehen, ohne Abstand PunktPunkt, Abstand PunktEbene oder PunktGerade zu können, ist derart sinnlos, dass Sie stattdessen daheim bleiben und sich einen schönen Tag machen können. V.03.01 | Abstand Punkt-Punkt berechnenBeispiel a. Bestimmen Sie den Abstand von A( 4 | 2 | 1 ) zu B( 1 | 3 | 6 ) ! Lösung: ⇒ Länge des Vektors bestimmen: Beispiel b. Bestimme den Abstand der Punkte A und B mit: A(1|2|3) und B(4|0|4). Lösung:d(A,B) = Beispiel c. Bestimme den Parameter „k“ so, dass der Abstand von C( 8 | 3 | 6 ) zu D( k | 5 | 4 ) 18LE beträgt ! Lösung: d(C,D) = Falls man einen GTR/CAS verwenden darf, kann man ab hier diese Gleichung von ihm lösen lassen. Wir rechnen jedoch natürlich lieber alles mühsam von Hand. Masochismus pur! Dieser Abstand soll nun den Wert 18 annehmen, es gilt also: Beispiel d. Welche Punkte der Gerade Lösung: V.03.02 | Abstand Punkt-Gerade über Lotebene berechnenUm den Abstand Punkt-Gerade zu bestimmen, werden wir: Beispiel e. Der Vogel „Schlumpi“ befindet sich im Punkt S(15|4|-2). Er ist sehr müde. Wie weit muss Schlumpi noch fliegen, um sich auf der Hochspannungsleitung ausruhen zu können ? Lösung: Erstmal bestimmen wir den Punkt L der Hochspannungsleitung, welcher von Schlumpi aus gesehen, am nächsten liegt. [Unromantiker würden sagen: wir errechnen den Lotfußpunkt.] Dazu stellen wir in Gedanken eine Ebene auf, welche senkrecht zur Hochspannungsleitung liegt und durch Schlumpi
geht. [Natürlich tut das Schlumpi nicht weh, es ist ja nur eine imaginäre Ebene.] Der Normalenvektor dieser Ebene müsste also der Richtungsvektor der Hochspannungsleitung h sein. h ∩ Elot : 3·(7+3t)–6·(-10–6t)+6·(15+6t)=9 Wir berechnen derweil, wie weit es wirklich ist. Schlumpi muss noch 15 Längeneinheiten fliegen. [Während der vielen Minuten, die wir für diese Rechnung gebraucht haben, hat sich Schlumpi auf dem Boden ausgeruht und wurde derweil leider vom Fuchs gefressen.] V.03.03 | Punkt-Gerade über laufenden PunktMal schauen, ob wir die „Schlumpi“-Aufgabe auch anders lösen können. Beispiel f. Der Vogel „Schlumpi2“ befindet sich im Punkt S(15|4|-2). [Schlumpi1 wurde ja vom Fuchs gefressen.] Auch er ist sehr müde. Da sichtet er plötzlich wieder die Hochspannungsleitung, welche entlang der Geraden Wie weit muss Schlumpi2 noch fliegen, um sich auf der Hochspannungsleitung ausruhen zu können ? Lösung: Der gesuchte Abstand von Punkt S zur Gerade h ist gleich dem Abstand vom Punkt P zum Lotfußpunkt L. Schlumpi2 muss auch wieder 15 Längeneinheiten fliegen. V.03.04 | Punkt-Gerade über laufenden Punkt (GTR)Dieses Kapitel beachten Sie bitte nur, falls Sie einen GTR oder einen CAS verwenden dürfen. Falls ja, haben Sie Glück, denn der GTR liefert die schnellste Methode für die Abstandberechnung von einem Punkt zu einer Gerade. Beispiel g. Der Vogel „Schlumpine“ befindet sich im Punkt S(15|4|-2).
[Schlumpine war die Freundin von Schlumpi1] Sie ist ein bisschen müde. Wie weit muss Schlumpine noch fliegen, um sich auf der Hochspannungsleitung ausruhen zu können ?? Lösung: Diese lange Wurzel geben wir [so wie sie ist] in den GTR oder CAS ein und bestimmen davon das Minimum. Möglichkeit 2: Je nach GTR-Modell erhält man im Hauptmenü über den „fMin“-Befehl das Minimum) Man erhält ein Minimum bei x bzw. t=-2 und bei y bzw. d=15 V.03.05 | Punkt-Gerade über sin(alpha)Beispiel h. Der Vogel „Schlumpus“ fliegt entlang der Geraden [Schlumpus ist der neue Freund von Schlumpine]. Lösung: Es gilt: Berechnung der Hypotenusenlänge SK : Berechnung des Winkels zwischen SK und Gerade. Berechnung des gesuchten Abstands Punkt-Gerade: Der Abstand von Schlumpus´ Flugbahn zum Kondomautomaten beträgt 15m. V.03.06 | Punkt-Ebene über LotgeradeWir stellen immer zuerst die Lotgerade gLot auf, dann errechnen wir den Lotfußpunkt L [als Schnittpunkt von gLot mit E]. Beispiel i. Bestimme den Abstand von P(7|8|9) zu E : 4x1+4x2–2x3=6 Lösung: Der Abstand von L zu P ist gleichzeitig der gesuchte Abstand von E zu P ! V.03.07 | Punkt-Ebene über HNF (Hesse-Normal-Form)Es gibt mehrere Möglichkeiten die HNF (Hesse-Normal-Form) einer Ebene
aufstellen. Eine davon halte ich persönlich für am einfachsten. Beispiel j. Es sei eine Ebene E : 2x1+2x2–x3=6 oder ein anderes Beispiel: Es sei eine Ebene F : 6x1–2x2+3x3=-18 Um nun den Abstand irgendeines Punktes zu irgendeiner Ebene zu berechnen, nimmt man die HNF der Ebene, setzt den Punkt für x1, x2, x3 ein und erhält auf der rechten Seite statt „=0“ den Abstand Punkt-Ebene [also „d(E,P)“]. Beispiel k. Bestimmen Sie den Abstand von P(7|8|9) zu E : 4x1+4x2–2x3=9 Lösung: Beispiel m. Welche Ebene ist parallel zu F : 4x1–7x2–4x3=0 und hat von Ü(6|6|6) den Abstand d=9? Lösung: E : 4x1–7x2–4x3=d besser: E : 4x1–7x2–4x3 = a HNF der Ebene aufstellen [Ab hier könnte man die
Gleichung wieder vom GTR lösen lassen.] 81= -42–a ⇒ 123 = -a ⇒ a1=-123 Die gesuchten Ebenen sind damit: E1 : 4x1–7x2–4x3 =-123 Beispiel n. Sei Welche Punkte der Gerade g haben von E den Abstand d= Lösung: HNF der Ebene aufstellen Um den Abstand zu berechnen: G in HNF einsetzen. [Ab hier könnte man die Gleichung wieder vom GTR lösen lassen.] 24t+36 = +12 ⇒ t1=-1 ⇒ G1 ( 3 | 5 | -3 ) ⇒ G2 ( -4 | 3 | -4 ) V.03.08 | Parallele Geraden, Gerade-Ebene, Ebene-Ebene→ Zwei parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand. Man führt die Rechnung auf „Abstand Punkt-Gerade“ zurück. Man nimmt von der einen Gerade einen Punkt [z.B. den Stützvektor] und berechnet den Abstand zur anderen Geraden. Beispiel n. Sei Bestimmen Sie den Abstand beider Geraden. Lösung: Wir wenden hier die Methode über die Lotebene an. Wir können beispielsweise den Abstand von der Gerade g zum Stützvektor von h ausrechnen. Den Stützvektor von h nennen wir mal Ph, er hat die Koordinaten: Ph(5|1|8) Wir stellen zuerst die Lotebene auf, die senkrecht auf g steht und durch Ph geht. ELot : 4x1+3x2+x3 = d Da wir fu?r die Lotebene den Stu?tzvektor von h genommen haben, schneiden wir ELot mit g! ELot ∩ g: 4?(7+4t) + 3?(8+3t) + (5+t) = 31 d(g,h) = d(L,Ph) = Beispiel n. Sei Bestimmen Sie den Abstand von g und E ! Lösung: Beispiel o. Sei E : 3x1+2x2+5x3=66 und F : 6x1+4x2+10x3=-50 Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen E und F ! Lösung: Der Abstand der beiden Ebenen ist überall gleich. Man nimmt irgend einen Punkt der einen Ebene und berechnet den Abstand zur anderen Ebene. Es gibt mehrere Methoden, den Abstand zweier windschiefen Geraden zu berechnen. Das geht zwar schneller, hat aber manchmal den Nachteil, dass man die Lotfußpunkte nicht erhält. Fazit:
V.03.09 | Abstand windschiefer Geraden über FormelBeispiel p. Sei Bestimmen Sie den Abstand von g und h ! Lösung: p und q sind die Stützvektoren der beiden Geraden. V.03.10 | Abstand windschiefer Geraden berechnen über Berechnung der LotfußpunkteBeispiel r. Sei Welche Punkte der Geraden g und h haben den geringsten Abstand voneinander? Lösung: Die Punkte sind die Lotfußpunkte und ich nenne sie analog zu ihren Geraden: „G“ und „H“. Von G und H wissen wir nur, dass sie auf den Geraden g und h liegen, daher „geben wir“ G und H die Koordinaten der Geraden g und h: G( -5t | 8+4t | 4+t ) H( 4+r | -3+4r | 9-3r ) Unser Vektor Aus diesen beiden Gleichungen berechnen wir „r“ und „t“. r und t zuru?ck in G und H eingesetzt, ergibt: G( -3 | 0 | 2 ) H ( 5 | 1 | 6 ) Beispiel s. Sei Bestimmen Sie den Abstand von g und h ! Lösung:
mit beiden Richtungsvektoren Null ergeben. Aus diesen beiden Gleichungen berechnen wir „r“ und „t“. |