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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

1 Jahrs vor
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Was ist die Sinusfunktion?

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Für diese erste Definition ist der Definitionsbereich D={alpha| 0<alpha<90°}.
Von den sechs Seitenverhältnissen, die am rechtwinkligen Dreieck abzulesen sind und die zu sechs trigonometrischen Funktionen führen, geht es auf dieser Webseite im Wesentlichen nur um den Sinus.
Am Ende werden alle Funktionen vorgestellt.

Sinuswerte im rechtwinkligen Dreieck   top

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Da die Kathete a eines rechtwinkligen Dreiecks immer kleiner als die Hypotenuse c ist, sind die Sinuswerte a/c kleiner als 1.
Bestimmte Sinuswerte erhält man über spezielle Dreiecke.
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Nähert sich in einem rechtwinkligen Dreieck der Winkel alpha dem Nullwinkel, so geht a/c gegen 0. 
Nähert sich der Winkel alpha dem rechten Winkel, so geht a/c gegen 1.
Deshalb wird sinnvollerweise sin(0°)=0 und sin(90°)=1 definiert.
Die Berechnungen lassen sich in einer Wertetabelle zusammenfassen.
alpha 0° 30° 45° 60° 90°
sin(alpha) 0 1/2 (1/2)sqrt(2) (1/2)sqrt(3) 1
Die fünf Funktionswerte kann man sich leicht merken. Die Terme sind von der gleichen Form.
alpha 0° 30° 45° 60° 90°
sin(alpha) (1/2)sqrt(0) (1/2)sqrt(1) (1/2)sqrt(2) (1/2)sqrt(3) (1/2)sqrt(4)
Wurzelterme (irrationale Zahlen) als Funktionswerte sind Ausnahmen. Im Allgemeinen sind die Sinuswerte transzendente Zahlen, die angenähert als Dezimalbrüche angegeben werden können. Diese werden über konvergente Reihen gewonnen, dann aber in beliebiger Genauigkeit.
Es ist heute kein Problem, sich gerundete Sinuswerte über den Taschenrechner zu verschaffen. Man bestimmt z.B. sin(52°) mit dem TI 30 über die Tastenfolge (5) (2) (SIN). Es ergibt sich sin(52°)= 0,788010754. Es ist allerdings sinnlos, alle 9 Dezimalen vom Rechner zu übernehmen. Das ist zu genau, denn der Winkel ist nur auf zwei Ziffern genau vorgegeben. Nach einer Faustregel genügen dann beim Sinuswert auch zwei geltende Ziffern, sin(52°)= 0,79. 
Es ist üblich, den Sinuswert auf vier Dezimalen genau zu runden. Dazu gehört dann eine Winkelgenauigkeit von etwa 1'=1/60°.
Es heißt also sin(52°)=0,7880.
Mit dem Taschenrechner kann man sich für eine Wertetabelle weitere Werte verschaffen und einen Graphen zeichnen. Der folgende Graph entstand allerdings mit dem Programm Winplot (URL unten).
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

Kosinuswerte top
Die Kosinusfunktion ist eng mit der Sinusfunktion verbunden.

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Der Kosinuswert ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.
In der Formelsprache heißt das cos(alpha)=b/c.

Dann gilt cos(alpha)=sin(beta)=sin(90°-alpha).

Da beta=90°-alpha gilt, sehen Wertetabelle und Graph folgendermaßen aus.

 
alpha 0° 30° 45° 60° 90°
sin(alpha) 1 (1/2)sqrt(3) (1/2)sqrt(2) 1/2 0
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Im Grunde ist die Kosinusfunktion eine Abwandlung der Sinusfunktion. 
Diese Aussage wird weiter unten noch deutlicher werden.

Erweiterung des Definitionsbereichs    top
D={alpha | 0<= alpha <=360°}
Eine Erweiterung des Definitionsbereichs erreicht man mit folgender Definition, die nicht im Widerspruch zu den Überlegungen oben stehen darf und auch nicht steht.

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Man gibt in einem kartesischen Koordinatensystem einen Kreis mit dem Radius 1 vor und einen Punkt P(x|y) auf der Kreisline. Verbindet man diesen Punkt mit dem Nullpunkt O, so entsteht mit der positiven x-Achse der Winkel alpha.

Der Sinus des Winkels alpha wird durch den y-Wert des Punktes P angegeben, denn im rechtwinkligen Dreieck OP'P ist sin(alpha)=PP'/1=PP'. 

Der Sinus ist hier also eine Strecke, die in der Einheit r=1 gemessen wird, insofern auch ein Seitenverhältnis.
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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Wandert der Punkt P entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Einheitskreis über den Winkel von 90° hinaus, so bleibt es bei der Definition PP'=sin(alpha). 

Links wird gezeigt, wie man die Sinuswerte der Winkel zwischen 90° und 180° auf die Sinuswerte spitzer Winkel alpha zurückführt.

Es gilt sin(180-alpha) = sin(alpha).

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Links wird gezeigt, wie man die Sinuswerte der Winkel zwischen 180° und 270°  auf die Sinuswerte spitzer Winkel alpha zurückführt.

Es gilt sin(180°+alpha)=-sin(alpha).

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Links wird gezeigt, wie man die Sinuswerte der Winkel zwischen 270° und 360°  auf die Sinuswerte spitzer Winkel alpha zurückführt.

Es gilt sin(360°-alpha)=-sin(alpha)

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Der Sachverhalt wird noch einmal in einer Animation dargestellt.
(Das Bogenmaß eines Winkels wird schon einmal vorweggenommen.)
Auf diese Weise wird der Sinus für alle Winkel zwischen 0° und 360° erklärt.
D={alpha| alpha beliebig}
Wandert der Punkt P von der x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn, so wiederholen sich die Sinuswerte: sin(alpha+360°)=sin(alpha)
allgemeiner: sin(alpha+n*360°)=sin(alpha), n=1, 2, 3,...
Wandert der Punkt P von der x-Achse aus im Uhrzeigersinn, so werden die Winkel negativ. Auch da definiert man den Sinuswert in gleicher Weise: sin(-alpha)=-sin(alpha).
Damit ist der Sinus für alle Winkel definiert.
Ein Graph stellt diesen Sachverhalt noch einmal anschaulich dar.
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
D=|R.
Es ist üblich und auch sinnvoll, die Winkel der Sinusfunktion nicht im Gradmaß, sondern im Bogenmaß anzugeben. Dann schreibt man f(x)=sin(x) an Stelle von f(alpha)=sin(alpha). 
Der Definitionsbereich ist D={x | 
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
}.
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Die Angabe der Einheit 1 Radiant (1 rad) ist entbehrlich, wie man unter Bogenmaß auf meiner Kreis-Seite nachlesen kann.
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Das Bogenmaß bietet sich auch deshalb an, weil es sich auch im Einheitskreis wiederfindet. Die Größe eines Winkels wird nämlich durch die Länge des Kreisbogens, der zum Winkel gehört, bestimmt. Als Einheit der Längenmessung dient der Radius des Kreises. 
Das Bogenmaß bestimmt die Form des Graphen. Beim Gradmaß liegt nicht fest, wo z.B. der Winkel 360° liegt.
So benutzen Schablonen zum Zeichnen der Sinuskurve das Bogenmaß.

Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

Kosinusfunktion für D=|R. 
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

Wie oben erwähnt, gilt für die Kosinusfunktion cos(alpha)=sin(90°-alpha). 
In diesem Zusammenhang heißt die Erweiterung der Kosinusfunktion cos(x)=sin(pi/2-x)=sin(x+pi/2) mit D=|R. Der Graph geht aus dem Graphen des Sinus durch Verschieben um pi/2 in -x-Richtung hervor.

Ermittlung der Sinuswerte     top
Funktionswerte mit dem Taschenrechner
Oben wurde schon beschrieben, wie man mit dem Taschenrechner zu sin(52,0°)=0,7880 kommt. 
Dabei muss man beachten, dass dieser im Grad-Modus steht. Das erkennt man daran, dass im Display DEG steht. Das ist nach dem Einschalten der Fall.
Will man den Sinuswert eines Winkels, der im Bogenmaß angegeben ist, bestimmen, schaltet man mit der Taste DRG den Radiant-Modus RAD ein. Dann ergibt sich z.B. sin(1 rad)=0,8415. 

Funktionswerte mit dem Tafelwerk
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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		In Vor-Taschenrechner-Zeiten standen die Funktionswerte in einem Tafelwerk ("Logarithmentafeln") bereit. 

Man erkennt links sin(52°)=0,7880 wieder. 

Die Tabellen enthalten Sinuswerte für Winkel auf 1'=1/60° genau. 
Für diese Genauigkeit benötigt man Zahlenspalten wie rechts.
 

Nützlicher als der abgebildete Tafelausschnitt waren umfangreiche Tabellen, die die Logarithmen trigonometrischer Funktionen enthielten. Denn mit Hilfe der Logarithmen wurde früher das Multiplizieren vermieden und durch das einfachere Addieren ersetzt, wenn auch auf Kosten der Genauigkeit.
Berechnung der Sinuswerte
Die Sinuswerte kann man nach der Taylor-Reihe berechnen. sin(x) = x - (1/3!)x3 + (1/5!)x5 - (1/7!)x7 + ...
Zur Herleitung der Formel
Die Taylor-Reihe lautet allgemein f(x)=f(a) + (1/1!)f'(a)(x-a) + (1/2!)f''(a)(x-a)2 + (1/3!)f'''(a)(x-a)3+ ...
Hier ist f(x)=sin x, f'(x)=cos(x), f''(x)=-sin(x), f'''(x)=-cos(x), ... 
Daraus folgt f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-1, f(4)(0)=0, f(5)(0)=1 ...
Dann ist sin(x) = x - (1/3!)x3 + (1/5!)x5 - (1/7!)x7+(1/9!)x9 - +..., wzbw.
Zahlenbeispiel
Der Taschenrechner liefert sin(52°)=sin(0,9076 rad)=0,7880.
Die Reihe liefert sin(0,9076 rad)=0,90757-0,12459+0,00513-0,00010+0,00000=0,7880.
Die Reihe konvergiert schnell.

Eigenschaften der Sinusfunktion top
Graph

Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

Definitions- und Wertebereich
Größtmöglicher Definitionsbereich
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Wertebereich
-1< = sin(x) <= 1
Periode
Es gilt sin(alpha+360°)=sin(alpha) oder sin(x+2pi)=sin(x).
Damit ist die Sinusfunktion eine periodische Funktion mit der (kleinsten) Periode 360° oder 2pi rad. 
Amplitude
Die Amplitude ist 1.
Besondere Punkte
Nullstellen
xN=k*pi 		Extrema
xE=(1/2)pi+k*pi 		Wendepunkte
xW=k*pi
Die Variable k steht für ganze Zahlen.
Symmetrie
Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunkts. Es gilt sin(x)= - sin(-x).
Steigung
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Wie groß ist die Steigung der Sinuskurve in ihren Punkten?
An bestimmten Stellen ist die Steigung zugänglich. 
Man sieht so ein, dass die Steigung durch die Kosinusfunktion beschrieben wird.
Das zeigt die folgende Rechnung.
Es werden folgende Formeln vorausgesetzt.
lim[sin(x)/x]=1 für x gegen 0  sin(alpha)-sin(beta)=2sin(beta/2)cos(alpha/2)
Der Differenzenquotient ist [sin(x+h)-sin(x)]/h={2sin(h/2)cos[(2x+h)/2]}/h={sin[(h/2)]/h}cos(x+h/2)
Strebt h gegen 0, so strebt sin(h/2)/(h/2) gegen 1 und cos(x+h/2) gegen cos(x).
Ergebnis: Der Differenzenquotient strebt gegen cos(x), f'(x)=cos(x).
Fläche
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Wie groß ist der Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen Sinuskurve und x-Achse?
Vermutung: Im Vergleich zum roten Einheitsquadrat dürften es so etwa 2 Flächeneinheiten sein.
Lösung
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Gut geschätzt.
Kurvenlänge
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Wie lang ist das Kurvenstück der Sinuskurve zwischen zwei Nullstellen?
Vermutung: Verglichen mit der Einheitsstrecke auf der y-Achse sind es etwa 4 Längeneinheiten.
Lösung
Der Ansatz ist 
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Das Integral ist als elliptisches Integral nicht elementar zu berechnen, aber näherungsweise über eine Reihe.
Ergebnis: Die Länge ist s=pi(1+1/4-3/64+5/256-175/16384+ -...)  = 3,808 LE, wie in (2), Seite 469f, demonstriert wird. 

Einige trigonometrische Formeln   top
Auf dieser Seite werden einige Formeln verwendet und hier bewiesen.
Ich beschränke mich auf eine Untersuchung im ersten Quadranten.
sin²(alpha)+cos²(alpha)=1

...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Nach dem Satz des Pythagoras gilt sin²(alpha)+cos²(alpha)=1.
sin(2alpha)=2sin(alpha)cos(alpha)
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Man zeichnet in die Figur des Einheitskreises die Winkel alpha ein und ergänzt die Figur wie links.
Es gilt im gelben Dreieck sin(2alpha)=x+y. 
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Im rechtwinkligen Dreieck ODC gilt OD=cos(alpha), im Dreieck OGD gilt sin(alpha)=x/OD. 
Dann ist x=OD*sin(alpha)=sin(alpha)cos(alpha).
Im rechtwinkligen Dreieck ODC gilt DC=sin(alpha), im Dreieck FDC gilt cos(alpha)=y/DC.
Dann ist y=DC*cos(alpha)=sin(alpha)cos(alpha).
Damit gilt sin(2alpha)=x+y=2sin(alpha)cos(alpha).
cos(2alpha)=cos²(alpha)-sin²(alpha)
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Man zeichnet in die Figur des Einheitskreises die Winkel alpha ein und ergänzt die Figur wie links.
Es gilt im gelben Dreieck cos(2alpha)=u-v. 
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Im rechtwinkligen Dreieck ODC gilt OD=cos(alpha), im Dreieck OGD gilt cos(alpha)=u/OD. 
Dann ist u=OD*cos(alpha)=cos²(alpha).
Im rechtwinkligen Dreieck ODC gilt DC=sin(alpha), im Dreieck FDC gilt sin(alpha)=v/DC.
Dann ist v=DC*sin(alpha)=sin²(alpha).
Damit gilt cos(2alpha)=u-v=cos²(alpha)-sin²(alpha).
Quelle: (3), Seite 272

Allgemeine Sinusfunktion    top
Aus der Sinusfunktion geht die allgemeine Sinusfunktion hervor. Sie hat die Form f(x)=a*sin(bx+c), wobei a, b und c reelle Zahlen sind. Es ist sinnvoll zu fordern, dass sie nicht den Wert 0 annehmen.
Es stellt sich die Frage, welche Wirkung die Parameter a, b und c haben, ausgehend von der Funktionsgleichung f(x)=sin(x)? 

> Gibt man f(x)=a*sin(x) vor, so bewirkt |a|>1 eine Streckung, |a|<1 eine Stauchung der Sinuskurve in y-Achsen-Richtung.
Das illustrieren die folgenden vier Graphen.
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		f(x)=sin(x), f(x)=2sin(x), f(x)=(1/2)sin(x), f(x)=-sin(x)..
> Gibt man f(x)=sin(bx) vor, so bewirkt |b| eine Veränderung der Periode 2pi auf 2pi/|b|.
Das illustrieren die folgenden vier Graphen.
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
.... 		f(x)=sin(x), f(x)=sin(2x), f(x)=sin[(1/2)x], f(x)=sin(-x)....
> Gibt man f(x)=sin(x+c) vor, so bewirkt c eine Verschiebung des Graphen um c in den x-Achsen-Richtungen. 
Das illustrieren die folgenden vier Graphen.
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		f(x)=sin(x), f(x)=sin(x+2), f(x)=sin(x+1/2), f(x)=sin(x-1)
Beispiel
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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		f(x)=sin(x)
 f(x)=3sin(2x+1) oder f(x)=3sin[2(x+1/2)]

Die Amplitude ist 3, die Periode ist 2 und 
die Verschiebung in -x-Richtung ist 1/2. 
...................................................................................

Kombination von Sinuskurven top
sin(x)+cos(x)

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Die roten Kurven sind die Graphen des Sinus und des Kosinus. Die schwarze Kurve entsteht durch Überlagerung beider Kurven und ist eine Sinuskurve. Man kann ablesen: Die Periode ist 2pi, der Scheitelwert sqrt(2) und die Verschiebung in -x-Richtung ist pi/2.
Damit ergibt sich die Gleichung sin(x)+cos(x)=sqrt(2)sin(x+pi/2).
sin(x)cos(x)
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Die roten Kurven sind die Graphen des Sinus und des Kosinus. Die schwarze Kurve entsteht durch Überlagerung beider Kurven und ist eine Sinuskurve. Man kann ablesen: Die Periode ist pi und der Scheitelwert ist 1/2.
Damit ergibt sich die Gleichung sin(x)cos(x)=(1/2)sin(2x), eine bekannte trigonometrische Formel.
sin(x)sin(x)
..
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
.... 		Der gegebene Funktionsterm ist f(x)=sin²(x).

Es gilt, wie in der Zeichnung abzulesen,
sin²(x)=1/2-(1/2)cos(2x).

Die Gleichung folgt aus den trigonometrischen Formeln sin²(x)+cos²(x)=1 und cos(2x)=cos²(x)-sin²(x). 
Schwebung
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		f(x)=sin(12x).
Der Graph von f(x)=sin(13x) ist fast identisch.
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		f(x)=sin(12x)+sin(13x)
f1(x)=+cos(x/2) und f2(x)=+cos(x/2). 
Es überlagern sich zwei Sinuskurven, deren Perioden sich nur wenig unterscheiden.
Es gilt die trigonometrische Formel sin(x)+sin(y)=2cos[(x-y)/2]sin[(x+y)/2].
In diesem Sonderfall ist sin(13x)+sin(12x)=2cos(x/2)sin(25x/2).
Darstellung periodischer Funktionen
Eine Rechteckkurve kann man angenähert durch Überlagerung von Sinuskurven darstellen. 
Es folgt ein Beispiel.
Im Hintergrund steht die Fourierreihe. Eine periodische Funktion kann angenähert durch eine Reihe von Sinusfunktionen in beliebiger Genauigkeit beschrieben werden.

Arkussinus top

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Die Sinusfunktion ist als Ganzes nicht umkehrbar, denn z.B. gibt es zu y=0 beliebig viele x-Werte, nämlich die Nullstellen. Schränkt man dagegen den Definitionsbereich auf -(1/2)pi<=x<=(1/2)pi ein, so gibt es zu jedem x-Wert genau einen y-Wert.
In diesem Bereich ist sie also umkehrbar.
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion, indem man die Sinuskurve an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt. 
Für den Funktionsterm der Umkehrfunktion gibt es die Symbole arc sin(x) oder sin-1(x). 
Der Definitionsbereich ist D={x| -1 <= x <= 1}, 
der Wertebereich W={y| (1/2)pi <= y <= (1/2)pi}.
Winkel mit dem Taschenrechner
Gibt man in den Taschenrechner einen Sinuswert zwischen -1 und +1 ein, so wird nach Maßgabe der Umkehrfunktion nur ein Winkel zwischen -(1/2)pi und +(1/2)pi bzw. -90° und +90° ausgegeben.
So erhält man zum Sinuswert 0,7880 den Winkel 52° über die Tastenfolge (2nd) (sin)... 
Man schreibt arc sin(0,7880)=52°. 
Zwei weitere Beispiele sind arc sin(0,3333)= 19,5° und arc sin(-0,3333)= -19,5°.

Figuren in der Sinus-Linse top
Größtes Rechteck
Die Graphen der Funktionen f(x)=sin(x) und g(x)=-sin(x) bilden im Bereich 0 <=  x <= pi eine Linse. 

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Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Passt man in die Linse Rechtecke ein, so dass die Eckpunkte auf den Sinuskurven wie links liegen, so stellt sich die Frage nach dem Rechteck mit dem größten Flächeninhalt. 
Lösung
Der Ansatz ist A=(pi-2x)(2y)
Mit y=sin(x) gilt A(x)=2pi*sin(x)-4x*sin(x).
Die Ableitung ist A'(x)=2pi*cos(x)-4*sin(x)-4x*cos(x).
A'(x)=0 führt zu pi*cos(x)-2sin(x)-2x*cos(x)=0. 
Das ist eine transzendente Gleichung, die i.a. nur näherungsweise gelöst werden kann.
...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
... 		Zur Lösung der Gleichung pi*cos(x)-2sin(x)-2x*cos(x)=0 gelangt man z.B., indem man die Nullstelle der Funktion f(x)=pi*cos(x)-2sin(x)-2x*cos(x)=0 bestimmt.

Dazu werden mit dem Zeichenprogramm Winplot der Graph gezeichnet und die Nullstelle abgelesen: x1=0,72. - Auch die zweite Nullstelle x2=2,42=pi-x1 passt zum Problem.
Ergebnis: Das Rechteck 1,70 mal 1,32 ist das größte. 

Quadrat
Fünf weitere Figuren
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

Raute
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

Gleichseitiges Dreieck
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

Quadrat auf der Spitze
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

Kreis
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

"Um-Quadrat"

Übersicht über die trigonometrischen Funktionen     top
Neben der Sinusfunktion gibt es fünf weitere trigonometrische Funktionen, bei denen einem Winkel im rechtwinkligen Dreieck andere Seitenverhältnisse zugeordnet werden. 

Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Sinus
sin(x)=a/c 		Kosinus
cos(x)=b/c 		Tangens
tan(x)=a/b 		Kotangens
cot(x)=b/a 		Sekans
sec(x)=c/a 		Kosekans
csc(x)=c/b
Es gilt 0 <=  x <= (1/2)pi. 
Alle Funktionswerte findet man am Einheitskreis als Strecken, hier im 1.Quadranten eingezeichnet.
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
sin(x)=PP' cos(x)=QP tan(x)=TR cot(x)=US sec(x)=OR csc(x)=OS
Es gilt 
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
.
Alle Graphen in einem Bild
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
sin(x) und cos(x) in Rot

tan(x) und cot(x) in Blau

sec(x) und csc(x) in Grün

Alle Funktionswerte lassen sich auf Sinuswerte zurückführen, denn es gelten folgende Formeln.
sin(x) 
vorgegeben 		cos(x)
=sqrt[1-sin²(x)] 		tan(x)
=sin(x)/sqrt[1-sin²(x)] 		cot(x)
=sqrt[(1-sin²(x)]/sin(x) 		sec(x)
=1/sqrt[1-sin²(x)] 		csc(x)
=1/sin(x)
Die Formel sin²(x)+cos²(x)=1 wird in der Tabelle verwendet.
In der Schule finden heute nur der Sinus, der Kosinus und der Tangens Verwendung. 
Der Kotangens ist aus den Lehrbüchern weitgehend verschwunden.
Ich entdeckte den Sekans und den Kosekans erstmals in einem englischen Lehrbuch.

Flächen im Raum der Form z=f(x,y)    top

Figuren aus Sinuslinien top

Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

4pi
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

4pi
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

8pi
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

8pi
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

12pi

Der Sinus an anderen Stellen meiner Homepage    top
Sinussatz

...
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
a:b:c=sin(alpha):sin(beta):sin(gamma)
Mehr auf meiner Seite Allgemeines Dreieck
Parameterdarstellungen von Kurven
x(t)=4r*cos(t/3)-a*cos(4t/3)
y(t)=4r*sin(t/3)-a*sin(4t/3) 
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?
Mehr auf meiner Seite Dreistrahlige Figuren
x(t)=5r*cos(t/4)-a*cos(5t/4)
y(t)=5r*sin(t/4)-a*sin(5t/4) 
Wieso ist der Sinuswert eines Winkel zwischen 0 und 90 immer kleiner als 1?

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Darstellungen in Polarkoordinaten
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Eierketten
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Eine Sinusschwingung Mehr auf meiner Seite Eine Schwingung durch Reibung

Sinusfunktion im Internet top

Deutsch

leifiphysik (Rupprecht-Gymnasium in München)
Die Sinusfunktion

Wikibooks
Differentiation der Sinusfunktion

Wikipedia
Sinus und Kosinus, Arkussinus und Arkuskosinus, Sinus versus und Kosinus versus, SOHCAHTOA, Formelsammlung Trigonometrie,  Fourierreihe, Sinuston , Ton 440Hz - hörbar, Schwebung

Englisch

Eric W. Weisstein   (MathWorld)
Sine, Inverse Sine, Inverse trigonometric functions, Simple Harmonic Motion, Fourier Series

Richard Parris (Freeware-Programme) 
winplot

Wikipedia
Sine, Inverse trigonometric function, Sine quadrant, Versine, Beat (acoustics), 
List of trigonometric identities

Referenzen top
(1) F.G.Gauß: Vierstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln, Stuttgart 1953
(2) Georg Ulrich / Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld
 [ISBN 3 8044 0575 4]
(3) Autorengemeinschaft:  Algebra und Geometrie für Ingenieure, Frankfurt/M Zürich 1966 
[ISBN 978-3-87144-107-3] 

Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2011 Jürgen Köller

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Warum ist der Sinus von 90 Grad 1?

Bei einem Winkel von 90° ist die Gegenkathete genauso lang wie die Hypotenuse. Das heißt, wir berechnen sin(90°) = (GK)/HY = (HY)/HY = 1 . Daher ist sin(90°) = 1 .

Warum ist Sinus von 30 Grad 0 5?

Winkeleigenschaften im Dreieck Ein 30 Grad Winkel kann in einem Rechtwinkligen Dreieck als innerer Winkel vorkommen. Hat ein Rechtwinkliges Dreieck einen Innenwinkel von 30 Grad, so ist die Gegenkathete um den Faktor 0.5 kleiner als die Hypotenuse.

Was beschreibt der Sinus eines Winkels?

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel). Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

Was ist der Sinus von 0?

Der Sinus von 0° ist 0 und von 90° ist er genau 1.

wieso ist der sinuswert eines winkel zwischen und immer kleiner als Winkelfunktionen Formeln Winkelfunktionen Tabelle PDF Sinus 0 grad

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