Wie oft muss man mindestens würfeln damit mit mindestens 98 Wahrscheinlichkeit?

kreisfoermig

Topnutzer im Thema Mathe

22.01.2014, 18:26

Passende Verteilung hier wäre die Exp-Verteilung.

• P(n) = P(n-Versuche gebraucht werden, bis zum ersten Zutritt des gezielten Ergebnisses)
  • = (1–p)^(n–1)·p, wobei n ≥ 1 eine natürliche Zahl und p = 1/6.

Gesucht wird die kleinste n in N, so dass P(≤n) ≥ 0,98, das heißt P(>n) < 1–0,98

• P(≥n) = ∑[über k : n+1≤k<∞] (1–p)^(k–1)·p
  • = p·(1–p)^n · ∑[über k : 0≤k<∞] (1–p)^k
  • = p·(1–p)^n · [1 / (1–(1–p))]
  • = (1–p)^n

Also

• P(≤n) ≤ 0,98 <==> P(>n) ≥ 1–0,98
  • <==> (1–p)^n ≥ 1–0,98
  • <==> n·Log(1–p) ≥ Log(1–0,98)
  • <==> n ≥ Log(1–0,98)/Log(1–p) (Teilen durch eine negative Zahl)
  • <==> n ≥ Log(1–0,98)/Log(1–1/6) ≈ 21,4567
  • <==> n ≥ 22

Also wäre 22 die Lösung.

Bettixx

19.01.2014, 11:36

du musst rechnen: (5:6) ^n größer 0,02 Dann löst du mit dem Logarithmus die Gleichung und es kommt die Mindesanzahl der Würfe raus. Wenn zu 98% eine Sechs da sein soll, dann muss zu 2% keine Sechs da sein. Die Wahrschienlichkeit, keine 6 zu würfeln ist 5:6 Alles klar?

zapalotnochmal

19.01.2014, 11:35

du must schauen wie viel prozent chance du aufeine 6 hättest wenn du einmal wirfst ---- =1/6 und das in prozent ausgerechnet musst du so offt malnehmen bis du auf die 98 kommst ....

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, bezeichnen wir mit P(A).

Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace:

P(A) =Anzahl der für A günstigen Fälle

---

Anzahl der möglichen Fälle

Beispiel: Bei einmaligem Würfeln mit einem fairen Würfel ist P(6) = 1/6.

Rechenregeln:

0 ≤ P(A) ≤ 1(das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0,
das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1)P(A oder B) = P(A) + P(B),
wenn A und B einander ausschließenz.B.: P(5 oder 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6P(A') = 1 - P(A)
(Gegenereignis: A' = "nicht A")z.B.: P(nicht 6) = 1 - 1/6 = 5(6)P(A und B) = P(A)·P(B),
wenn A und B voneinander unabhängig sindz.B.: bei 2maligem Würfeln ist
P(2mal 6)= 1/6·1/6 = 1/36

Beispiele:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2maligem Würfeln mindestens 1mal "6" zu werfen?
   Wir können die günstigen und möglichen Fälle abzählen (kompliziert) oder so überlegen:
   Die Wahrscheinlichkeit für "0mal 6" beträgt 5/6·5/6 = 25/36.
   "Mindestens 1mal 6" ist das Gegenereignis dazu, also
   P(mind. 1mal 6) = 1 - P(0mal 6) = 1 - 25/36 = 11/36.

2. Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 1mal 6 zu werfen?
   Analog zum vorigen Beispiel erhält man bei n-maligem Würfeln
   P(mind. 1mal 6) = 1 - (5/6)n
   Das soll 90% = 0,9 sein:
   1 - (5/6)n = 0,9
   Durch Umformen und Logarithmieren erhalten wir
   

   
   = 12,6
   d.h. man muss 13mal würfeln.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) (B unter der Bedingung A) versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn man bereits weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist. Es gilt:

P(B|A) = P(A und B)/P(A)

(Das ist nur eine Abwandlung der Regel "günstige durch mögliche Fälle". Die möglichen Fälle sind jetzt nur mehr die, die zum Ereignis A gehören.)

Beispiele:

1. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln unter der Bedingung, dass das Ergebnis gerade ist, beträgt (1/6)/(1/2) = 1/3.

   Wie oft muss man mindestens würfeln um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine 6 zu bekommen?

   Es muss also mindestens 13-mal gewürfelt werden, damit mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit eine 6 geworfen wird.

   Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens?

   Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist die Wahrscheinlichkeit, mit der man nach mehrmaligem Ausführen des Versuchs mindestens einen Treffer hat.

   Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 2 Würfen mindestens eine 6 zu würfeln?

   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine Sechs zu würfeln? Antwort stern: ein Sechsunddreißigtel.

   Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln?

   Die Antwort ist hier einfach: Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten, wie der Würfel zum Liegen kommen könnte: nämlich alle Zahlen von 1 – 6. Aber nur eine dieser Zahlen wollen wir tatsächlich würfeln – also ist die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln 1/6.