Wie berechnet man die Höhe des Dreiecks aus?

Dreieck

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Umkehraufgaben:

Alle weiterführenden Informationen zum Allgemeinen Dreieck finden Sie hier! .

Gleichseitiges Dreieck

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Höhe:

Mehr über das Gleichseitige Dreieck erfahren Sie in diesem Kapitel!

Rechtwinkeliges Dreieck

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Satz des Pythagoras:

Höhensatz:

Kathetensätze:

Das Rechtwinkelige Dreieck hat besondere Eigenschaften: Rechtwinkeliges Dreieck

Sonstiges

Formel von Heron:

Umkreisradius:

Inkreisradius:

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Alles zum Dreieck und dessen Berechnung: Definitionen, Formeln und Berechnungen der Dreiecks-Fläche, der Seitenlängen, des Umfangs, der Winkel und der Höhen des Dreiecks. Der Dreieck-Rechner berechnet alle diese Eigenschaften anhand weniger notwendiger Angaben. Alle Werte des berechneten Dreiecks und das so konstruierte Dreieck werden im Ergebnis des Dreieck-Rechners angezeigt. Jede Berechnung wird in den Hilfetexten zum Dreieck-Rechner anhand der passenden Formeln hergeleitet.

Inhalt

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Ein Dreieck lässt sich durch drei Punkte in der Ebene definieren, die nicht auf einer Geraden liegen. Diese Punkte werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen jeweils zwei Ecken sind die Seiten des Dreiecks. Das Dreieck begrenzt in der Ebene damit eine Fläche.

Wichtige Eigenschaften eines Dreiecks sind seine Fläche, die Länge seiner drei Seiten, der Umfang des Dreiecks, die Winkel der Seiten zueinander sowie die Höhen jeder Seite zur gegenüber liegenden Ecke. Die Berechnung dieser Dreiecks­eigenschaften und deren Umrechnung anhand entsprechender Formeln kann mit dem Dreieck-Rechner bequem durchgeführt werden und wird im Folgenden weiter vertieft.

Bei einem Dreieck werden die drei Ecken üblicherweise mit den Großbuchstaben A, B und C beschriftet. Dabei erfolgt die Beschriftung mit A, B und C in der Regel gegen den Uhrzeigersinn und beginnt an der Ecke links unten mit A.

Die drei Seiten eines Dreiecks werden mit den Kleinbuchstaben a, b und c beschriftet. Dabei wird die Seite, die der Ecke A gegenüberliegt, mit a beschriftet, gegenüber von Ecke B liegt die Seite b und gegenüber von C liegt die Seite c.

Die drei inneren Winkel eines Dreiecks werden mit den griechischen Buchstaben α (alpha), β (beta) und γ (gamma) bezeichnet. Sie liegen bei den entsprechenden Ecken, das heißt bei Ecke A liegt α, bei B liegt β und bei C befindet sich der Winkel γ.

Die Höhe zur einer Grundseite entspricht der Lotstrecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt zur Grundseite oder deren Verlängerung. Somit entspricht die Höhe zu a (ha) der Strecke zwischen der Ecke A und der gegenüberliegenden Seite a, auf der ha senkrecht steht. Entsprechend sind die Höhe zu b (hb) und die Höhe zu c (hc) definiert.

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Der Rechner zur Berechnung eines Dreiecks ermöglicht unter "Welche Werte sind gegeben?" eine Auswahl, anhand der man ein Dreieck mittels bestimmter gegebener Werte berechnen kann. Wählen Sie also daher aus, welche bekannten Werte zur Berechnung des Dreiecks zur Verfügung stehen. Anhand dieser Auswahl können Sie die gegebenen Werte für das zu kalkulierende Dreieck in die dann angezeigten Felder eintragen.

Der Dreieck-Rechner berechnet mittels der gegebenen Dreiecks-Eigenschaften alle weiteren für das Dreieck relevanten Eigenschaften und zeigt ebenfalls die grafische Darstellung, also die Abbildung des Dreiecks an.

Um ein Dreieck eindeutig zu berechnen, sind andere bzw. weitere gegebene Werte erforderlich: Sind jeweils die Werte einer der weiteren hier auswählbaren Optionen gegeben, kann ein eindeutiges Dreieck dazu konstruiert werden. Bei diesen Optionen werden auch die üblichen, dazu passenden Abkürzungen angezeigt. Dabei steht "S" für die Übereinstimmung einer Seitenlänge und "W" für die Übereinstimmung eines Winkels. Nur anhand dieser Optionen kann ein Dreieck eindeutig berechnet werden. Z.B kann ein Dreieck anhand von nur drei gegebenen Winkeln (WWW) nicht eindeutig bestimmt werden.

Im Folgenden werden alle auswählbaren Optionen, also Kombinationen gegebener Werte, im Deteil beschrieben.

Eine Seite und dazugehörige Höhe h

Wählen Sie diese Option bitte aus, wenn Ihnen die Länge einer Seite a, b, oder c des Dreiecks und die jeweils dazugehörige Höhe bekannt sind. Dabei entspricht die Höhe eines Dreiecks zu einer Grundseite g stets der Lotstrecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt zur Seite g oder deren Verlängerung. Anhand der Länge einer Seite des Dreiecks und der dazugehörigen Höhe h kann die Fläche F des Dreiecks berechnet werden. Die Berechnung der übrigen Seiten und Höhen sowie der Winkel ist anhand dieser beiden gegebenen Werte jedoch nicht möglich.

Alle drei Seiten a, b und c (SSS)

Wählen Sie diese Option bitte aus, wenn Ihnen die Längen aller drei Seiten des Dreiecks bekannt sind. Bei der Berechnung von Dreiecken wird eine Konstellation mit drei gegebenen Seiten häufig auch abgekürzt als "SSS". Anhand dieser Angaben kann das ganze Dreieck konstruiert werden. Es kann also sowohl die Fläche, der Umfang des Dreiecks, die Höhen zu a, b und c sowie die Winkel α β und γ berechnet werden.

Eine Seite bei gleichseitigem Dreieck (SSS)

Wählen Sie diese Option bitte aus, wenn das Dreieck gleichseitig, also drei gleich lange Seiten mit bekannter Länge a hat. Dieser Fall für das gleichseitige Dreieck ist ein Spezialfall zur SSS-Berechnung im allgemeinen Dreieck, da mit einer gegebenen Seite gleich alle drei Seiten bekannt sind. Man könnte zur Berechnung des Dreiecks also auch die vorherige Option "Alle drei Seiten a, b und c (SSS)" wählen, jedoch ermöglichen hier vereinfachte Formeln die Berechnung des gleichseitigen Dreiecks.

Zur Berechnung der Fläche und aller anderen Eigenschaften des Dreiecks ist also nur die Länge einer Seite notwendig, da damit zugleich die Länge aller drei Seiten gegeben ist. Damit lasen sich alle übrigen Eigenschaften des Dreiecks berechnen und daher das gesamte Dreieck konstruieren.

Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS)

Wählen Sie diese bitte aus, wenn zwei Seiten des Dreiecks nebst dem davon eingeschlossenem Winkel bekannt sind. Bei der Berechnung von Dreiecken wird eine Konstellation, bei der ein Winkel und dessen umschließenden Seiten bekannt sind, häufig auch abgekürzt als "SWS". Damit kann z.B. die Länge der dritten Seite berechnet werden, so dass in der Folge wiederum alle übrigen Eigenschaften des Dreiecks berechnet werden können.

Zwei Katheten bei rechtwinkligem Dreieck (SWS)

Wählen Sie dies bitte aus, wenn Ihnen die Längen dieser beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind. Die Katheten sind die beiden Seiten, die am rechten Winkel des Dreiecks anliegen, während die sogenannte Hypotenuse dem rechten Winkel des Dreiecks gegenüberliegt.

Damit bildet der Fall mit zwei gegebenen Katheten einen Spezialfall zur SWS-Berechnung im allgemeinen Dreieck, da der dazwischenliegende Winkel mit 90 Grad ohnehin bekannt ist. Man könnte zur Berechnung des Dreiecks also auch die vorherige Option "Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS)" wählen, jedoch ermöglichen hier vereinfachte Formeln die Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck genügen also diese zwei Seiten, nämlich die Werte der beiden Katheten, um alle übrigen Eigenschaften des Dreiecks zu berechnen und damit das gesamte Dreieck zu konstruieren.

Eine Seite und zwei Winkel (SWW, WWS, WSW)

Wählen Sie diese bitte aus, wenn eine beliebige Seite des Dreiecks sowie zwei beliebige Winkel bekannt sind. Bei der Berechnung von Dreiecken wird eine Konstellation, bei der eine Seite und zwei Winkel bekannt sind, häufig auch abgekürzt als "WWS", "SWW" oder "WSW". Damit kann z.B. über den Winkelsummensatz der dritte Winkel berechnet werden und in der Folge wiederum alle übrigen Eigenschaften des Dreiecks.

Zwei Seiten und ein Winkel der längeren Seite gegenüber (SsW, WsS)

Wählen Sie diese bitte aus, wenn zwei Seiten des Dreiecks sowie der zur längeren gegebenen Seite gegenüberliegende Winkel bekannt sind. Bei der Berechnung von Dreiecken wird eine Konstellation, bei der zwei Seiten und der gegenüber­liegende Winkel der längeren Seite bekannt sind, häufig auch abgekürzt als "SsW" oder "WsS".

Damit kann etwa mit Hilfe des Sinussatzes der Winkel berechnet werden, welcher der kleineren gegebenen Seite gegenüberliegt. Anschließend kann über den Winkelsummensatz der dritte gesuchte Winkel bestimmt werden und schließlich das gesamte Dreieck eindeutig berechnet sowie konstruiert werden. Sollte nur der Winkel gegeben sein, der gegenüber der kürzeren gegebenen Seite liegt, kann das Dreieck hingegen nicht eindeutig berechnet werden.

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Im Folgenden zeigen wir Ihnen ein Beispiel zur Berechnung eines allgemeinen Dreiecks, bei dem zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel bekannt sind. Mit "S" als Abkürzung für Seite und "W" als Abkürzung für Winkel wird diese Konstellation gegebener Eigenschaften des Dreiecks auch mit "SWS" bezeichnet.

Anhand der gegebenen drei Werte können nun gemäß der sogenannten Kongruenzsätze ("Wann ist ein Dreieck deckungsgleich mit einem anderen?" bzw. "Wann ist ein Dreieck bis auf Verschiebungen oder Drehungen identisch mit einem anderen Dreieck?") die übrigen Eigenschaften des Dreiecks schrittweise eindeutig bestimmt werden.

Gegeben

Gegeben sei die Seite a = 4 cm, die Seite b = 6 cm und der von beiden Seiten a und b eingeschlossene Winkel γ mit einem Wert von 70 Grad.

Gesucht

Gesucht ist die noch fehlende Seite c, der Umfang und die Fläche des Dreiecks, die übrigen beiden Winkel α und β sowie die Höhen zu allen drei Seiten.

Diese Werte können Sie im Dreieck-Rechner nach Auswahl von "Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel (SWS)" unter "Welche Werte sind gegeben?" eingeben. Der Rechner berechnet dann - wie folgt - alle gesuchten Werte und gibt zudem ein grafisches Ergebnis des berechneten Dreiecks aus.

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Anhand der gegebenen Größen für die Seiten a und b sowie für den Winkel γ kann die Länge der noch unbekannten dritten Seite c mit Hilfe des allgemeinen Kosinussatzes zu c berechnet werden.

Formel: Kosinussatz zu c

c² = a² + b² − 2ab × cos γ°

und umgestellt nach c

c = a² + b² − 2ab × cos γ°

Einsetzen der vorhandenen Werte

Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und gamma = 70° ein, so erhält man

c = 4² + 6² − 2 × 4 × 6 × cos 70° ≈ 5,97

Lösung

Die fehlende dritte Seite c hat eine Länge von 5,97 cm.

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Anhand der gegebenen Längen für die Seiten a und b sowie der inzwischen berechneten Länge der Seite c kann der Umfang des Dreiecks folgendermaßen bestimmt werden.

Formel: Umfang U eines Dreiecks

Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der Länge aller drei Seiten a, b und c.

U = a + b + c

Einsetzen der vorhandenen Werte

Setzt man die gegebenen Werte a = 4 und b = 6 sowie den bereits berechneten Wert für c = 5,97 ein, so erhält man

U = 4 + 6 + 5,97 = 15,97

Lösung

Der Umfang des Dreiecks beträgt 15,97 cm.

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Anhand der gegebenen Längen für die Seiten a und b sowie der inzwischen berechneten Länge der Seite c kann die Fläche des Dreiecks mittels "Herons Formel" berechnet werden.

Formel: Herons Formel

F = s(s − a)(s − b)(s − c)

wobei s = halber Umfang, also

s = (a + b + c) / 2

Einsetzen der vorhandenen Werte

Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und c = 5,97 ein, so erhält man zunächst s mit

s = (4 + 6 + 5,97) / 2 = 7,98

Setzt man s = 7,98 in Herons Formel ein, so erhält man schließlich

F = 7,98(7,98 − 4)(7,98 − 6)(7,98 − 5,97)) ≈ 11,28

Lösung

Die Fläche F des Dreiecks beträgt 11,28 cm².

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Berechnung Winkel α

Zunächst berechnen wir Winkel α. Anhand der gegebenen Längen für die Seiten a und b sowie der inzwischen berechneten Länge der Seite c kann als Grundlage für die Berechnung von α der allgemeine Kosinussatz zu Seite a verwendet werden.

Formel: Kosinussatz zu Seite a

a² = b² + c² − 2bc × cos α

Stellt man den Kosinussatz um nach α, so erhält man

α = arccos( (b² + c² − a²) / 2bc )

Einsetzen der vorhandenen Werte

Setzt man die Werte a = 4, b = 6 und c = 5,97 ein, so erhält man

α = arccos((6² + 5,97² − 4²) / 2 × 6 × 5,97) = 0,68171 rad

Der gerade berechnete Wert ist das Bogenmaß (Radiant) des Winkels α, abgekürzt "rad". Die Umrechnung des Bogenmaßes nach Grad erfolgt über die Formel

Formel: Umrechnung von Radiant nach Grad

α° = α rad × 180 / π

Setzt man das Zwischenergebnis α rad ein, so erhält man

α° = 0,68171 rad × 180 / 3,14 ≈ 39,06°

Lösung

Der Winkel α des Dreiecks beträgt 39,06°.

Berechnung Winkel β

Nun, da der Winkel α berechnet ist und der Winkel γ ohnehin gegeben ist, kann der verbleibende Winkel β berechnet werden. Hierzu kann der Winkelsummensatz genutzt werden.

Formel: Winkelsummensatz

Die Summe der drei Innenwinkel α, β und γ in einem Dreieck beträgt stets 180 Grad.

α° + β° + γ° = 180°

Stellt man den Winkelsummensatz um nach β, so erhält man

β° = 180° − α° − γ°

Einsetzen der vorhandenen Werte

Setzt man den bereits berechneten Winkel für α sowie den gegebenen Winkel γ ein, so erhält man

β° = 180° − 39,06° − 70° = 70,94°

Lösung

Der Winkel β des Dreiecks beträgt 70,94°.

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Höhe zu a

Da alle Seiten und Winkel inzwischen bekannt sind, kann zur Berechnung der Höhe zu a die folgende Formel genutzt werden.

Formel für Höhe zu a

ha = c × sin β

Einsetzen der vorhandenen Werte

Setzt man die Werte für die bereits gegebene Seite c und den Winkel β ein, so erhält man

ha = 5,97 × sin 70,94° ≈ 5,64

Lösung

Die Höhe zu a, also ha beträgt 5,64.

Höhe zu b und Höhe zu c

Beide Höhen können analog zur Berechnung der Höhe zu a bestimmt werden. Für hb gilt etwa hb = a × sin γ. Für die Höhe zu c gilt die Formel hc = a × sin β. Nach Einsetzen der konkreten Werte berechnet der Dreieck-Rechner folgende Ergebnisse für die verbleibenden Höhen.

Lösung

Die Höhe zu b, also hb beträgt 3,76.

Die Höhe zu c, also hc beträgt 3,78.

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Das so berechnete Dreieck mit vorgegebenen Seiten a = 4 cm und b = 6 cm und dem von beiden Seiten a und b eingeschlossenem Winkel γ = 70 Grad kann anhand aller berechneten Werte folgendermaßen gezeichnet werden:

Abbildung Ergebnis

1 Kästchen entspricht 0,5 Einheiten (wie im Rechenheft)

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Zum Abschluss noch ein Video von Lehrer Schmidt. Hierin wird erklärt, wie Dreiecke anhand drei gegebener Größen konstruiert werden. Während der Dreieck-Rechner anhand von drei bekannten Größen Dreiecke rein mathematisch konstruiert, werden sie im Video per Geodreieck und Zirkel konstruiert. Bis 2:17 zeichnet Lehrer Schmidt ein Dreieck, für das die Länge aller drei Seiten bekannt ist (SSS). Ab 2:17 wird ein Dreieck konstruiert mit zwei gegebenen Seiten und dem bekannten Winkel zwischen diesen beiden Seiten (SWS). Ab 4:33 folgt die Konstruktion eines Dreiecks mit zwei bekannten Winkeln und einer Seite (WSW) und ab 6:25 wird schließlich ein Dreieck mit SSW gezeichnet.

Wie berechnet man die Höhe aus?

Was ist die Höhe in einem Dreieck?