Was ist ein Vektor? Ein Vektor hat einen Betrag und eine Richtung. Vektoren lassen sich durch Pfeile darstellen, wobei die Spitze des Pfeils die Richtung anzeigt und die Länge des Pfeils den Betrag angibt. Definition eines Vektors Ein Vektor besteht aus unendlich vielen parallelen Pfeilen, welche dieselbe Länge und Richtung haben. Allgemein gilt für einen Vektor folgende Schreibweise:  ax und ay sind die Koordinaten (Komponenten ) des Vektors in x- bzw. y-Richtung. Die Spitze-minus-Schaft-Regel Um einen Vektor zu berechnen, der von beispielsweise A nach B zeigt, also zwischen zwei Punkten liegt, subtrahiert man komponentenweise die Koordinaten des Anfangspunkts (des Schaftes vom Pfeil) vom Endpunkt (der Spitze des Pfeils). Wann benötige ich den Betrag des Vektors? Die Länge eines Vektors kann mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Daraus ergibt sich folgende Formel: aus:
Mathematik (AHS) Formelsammlung für die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung (ab Schuljahr 2017/18), Stand: 1. September 2017, Seite 6 Was ist der Unterschied zwischen einem Ortsvektor und einem Punkt? Der Punkt B hat die Koordinaten B = (4, 2) und liegt an einer bestimmten Stelle. Der Ortsvektor wird als Pfeil eingezeichnet und geht von A nach B. Die Schreibweise unterscheidet sich ebenfalls, wie in der Abbildung ersichtlich ist. Wann werden Vektoren subtrahiert? Werden Vektoren subtrahiert, dann bedeutet dies, dass der Vektor mit einem Gegenvektor addiert wird. Was ist ein Gegenvektor? Der Gegenvektor wird auch inverser Vektor genannt. Der Gegenvektor hat dabei dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor, läuft jedoch in die entgegengesetzte Richtung. Vektor einfach erklärtim Videozur Stelle im Video springen (00:10) Wähle einen Punkt im Koordinatensystem aus und verschiebe ihn in irgendeine Richtung. Dabei hast du eine Änderung in der x- und y-Koordinate. Diese Verschiebung des Punktes wird Vektor genannt. Mit einem Vektor kannst du von einem Ausgangspunkt alle Punkte im Raum beschreiben. Ein Vektor in einem Koordinatensystem wird mit einem Pfeil dargestellt. direkt ins Video springen Ein VektorHinweis: Man unterscheidet Vektoren und Skalare. Ein Skalar stellt dabei einfach eine Zahl dar. Was ist ein Vektor?im Videozur Stelle im Video springen (00:10) Stell dir vor, du hast einen Punkt A gegeben, und musst nun einen anderen Punkt B wählen, der eine bestimmte Länge von Punkt A entfernt ist. Verbindest du die beiden Punkte, so erhältst du die Strecke direkt ins Video springen Ein VektorMerke Eine Größe, die durch ihre Länge und Richtung gegeben ist, heißt Vektor. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge haben und in die gleiche Richtung zeigen. direkt ins Video springen Ein Vektor, der durch verschiedene Pfeile repräsentiert wirdAls Notation für Vektoren verwendest du entweder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, wie zum Beispiel Lage von VektorenIm folgenden Abschnitt erklären wir dir, wie verschiedene Vektoren zueinander liegen können. Ein Vektor direkt ins Video springen Parallele VektorenEin Vektor direkt ins Video springen GegenvektorZwei Vektoren direkt ins Video springen Senkrechte VektorenVektoren in einem Koordinatensystemim Videozur Stelle im Video springen (00:49) In einem Koordinatensystem kannst du jeden Punkt durch seine Koordinatendarstellung direkt ins Video springen Vektoren definiert durch Punkte im KoordinatensystemDabei stellt Analog gilt das auch für die Vektoren im Raum BeispielStartest du am Ursprung und gehst -1 Längeneinheiten entlang der x-Achse und 3 Längeneinheiten entlang der y-Achse, so landest du beim Punkt Oder betrachtest du zum Beispiel den Punkt direkt ins Video springen Zwei Vektoren durch Punkte im Koordinatensystem definiertVektoren durch zwei Punkte berechnenim Videozur Stelle im Video springen (02:48) Hier zeigen wir dir, wie du einen Vektor berechnen kannst, wenn du zwei Punkte zur Verfügung hast. Hast du zwei Punkte Merke Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, rechnest du Pfeilspitze minus Fuß. BeispielBetrachte zum Beispiel die zwei Punkte Das gleiche machst du auch, um die Verschiebung in der y-Achse zu berechnen. Du rechnest also die y-Koordinate von B minus die y-Koordinate von A. Somit erhältst du den Vektor direkt ins Video springen Der Vektor von A nach BUnterschied Ortsvektor und RichtungsvektorMan unterscheidet zwischen zwei Arten von Vektoren: Ortsvektoren und Richtungsvektoren/Verbindungsvektoren. Ortsvektoren haben ihren Startpunkt immer am Ursprung und werden mit Richtungsvektoren bzw. Verbindungsvektoren hingegen können ihren Startpunkt an jedem beliebigen Punkt haben und haben dementsprechend in ihrer Notation den Start- und Endpunkt, wie etwa direkt ins Video springen Ortsvektor und RichtungsvektorLänge eines VektorsEin Vektor besitzt immer eine gewissen Länge. Wenn du also einen Vektor Das heißt, du quadrierst erst die Komponenten des Vektors und ziehst dann von der Summe die Wurzel. BeispielEs sei der Vektor Möchtest du mehr Beispiele sehen? Dann schau dir unseren extra Beitrag Betrag eines Vektors dazu an! BeispielUm die zwei Vektoren Analog gehst du bei der Subtraktion vor. direkt ins Video springen Addition und Subtraktion zweier VektorenSkalarmultiplikationim Videozur Stelle im Video springen (03:44) Willst du einen Vektor BeispielMöchtest du zum Beispiel den Vektor direkt ins Video springen SkalarmultiplikationSkalarproduktDas Skalarprodukt ist eine Abbildung, die zwei Vektoren nimmt und daraus eine reelle Zahl produziert. Hast du zwei Vektoren Ist dabei das Skalarprodukt gleich 0, so stehen die zwei Vektoren senkrecht aufeinander. Das Skalarprodukt kann dir dabei helfen, die Länge eines Vektors zu bestimmen, denn für die Länge rechnest du Eine weitere Verwendung des Skalarprodukts ist die Berechnung des Winkels die im Zähler das Skalarprodukt der beiden Vektoren BeispielBetrachte die Vektoren Da das Skalarprodukt gleich 0 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von VektorenVektoren Graphisch veranschaulicht bedeutet das, dass sie entweder in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen (blauer und lila Vektor). Dagegen sind sie linear unabhängig, wenn sie in zwei verschiedene Richtungen zeigen (blauer und grüner Vektor). direkt ins Video springen Linear abhängige und unabhängige Vektoren 2DDrei Vektoren Graphisch bedeutet das, dass alle drei Vektoren in der gleichen Ebene liegen (blaue und grüne Vektoren), zeigt jedoch ein Vektor aus der Ebene heraus, so sind sie linear unabhängig (blaue und lila Vektoren). direkt ins Video springen Linear abhängige und unabhängige Vektoren 3DBeispielDu hast die Vektoren direkt ins Video springen Das Kreuzprodukt zweier VektorenVektoren AufgabenIn diesem Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben, mit denen du die Berechnung eines Vektors üben kannst. Lösung Aufgabe 1Um den Vektor zu berechnen, bedienst du dich der Regel „Spitze minus Fuß“. Das heißt, zuerst berechnest du die Verschiebung entlang der x-Achse und dann die Verschiebung entlang y-Achse Damit erhältst du dann den Vektor Lösung Aufgabe 2Auch in dieser Aufgabe berechnest du den Vektor, indem du die Koordinaten von B minus die Koordinaten von A rechnest. Du rechnest also Beliebte Inhalte aus dem Bereich Lineare AlgebraIst ein Vektor ein Pfeil?Vektoren sind ” Pfeile“ in der Ebene oder im Raum. Also Größen, die durch eine Richtung und einen Betrag gegeben sind. Betrachten wir die Vektorraumaxiome aus dieser Sicht! Die Summe x + y zweier Vektoren x,y wird gebildet, indem der Pfeil y an der Spitze des Pfeils x befestigt wird.
Wann Vektorpfeil?Im unteren Bild von A nach B. Dieser Pfeil heißt Vektor von A nach B. Eine Größe, die durch ihre Länge und Richtung gegeben ist, heißt Vektor. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge haben und in die gleiche Richtung zeigen.
Was ist ein Vektor einfach erklärt?Vektoren sind in der linearen Algebra Elemente, die im Vektorraum anzeigen, auf welche Weise ein Punkt per Parallelverschiebung verschoben wird. Vektoren sind durch ihre Länge und durch ihre Richtung definiert, geben also an, um welchen Abstand und in welcher Richtung ein Punkt verschoben wird.
Welche Eigenschaften hat ein Vektor?Im Gegensatz zu Skalaren haben Vektoren einen Betrag (Länge), eine Richtung und eine Orientierung. Die Richtung ist dabei durch die Achsenlage, die Orientierung durch den Richtungssinn gegeben. Der Richtungssinn gibt dabei an, in welche der beiden Richtungen entlang der Achse der Vektor zeigt.
|
Was ist der Unterschied zwischen einem Vektor und einem Pfeil?
zusammenhängende Posts
Urheberrechte © © 2024 membukakan Inc.
