Erläuterung: Show
Teilbarkeit, TeilbarkeitsregelnWann ist eine Zahl durch eine andere teilbar?Eine Zahl a heißt durch eine andere Zahl b teilbar, wenn bei der Division a:b kein Rest bleibt. Wie testet man, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist?Für kleinere Zahlen gibt es einige einfache Teilbarkeitsregeln, mit denen man das schnell testen kann:
Weiter gibt es auch Teilbarkeitsregeln f�r die Teilbarkeit durch z.B. 7 oder 13, aber diese lassen sich dann nicht mehr so einfach formulieren. Allerdings kann dies einfacher werden, wenn man zu einem anderen Zahlensystem �bergeht; im Siebenersystem ist zum Beispiel die Teilbarkeit durch Sieben sehr leicht pr�fbar. Ist die Zahl durch 4 teilbar? Um diese Frage zu beantworten, kannst Du die Zahl zum Beispiel schriftlich dividieren und schauen, ob ein Rest übrig bleibt oder nicht. Es gibt aber auch noch eine andere Möglichkeit, welche Dir die Entscheidung über die Teilbarkeit einer Zahl erleichtert: die Anwendung der Teilbarkeitsregeln. In diesem Artikel erhältst Du einen Überblick über die wichtigsten Teilbarkeitsregeln. Grundlagen zur TeilbarkeitZum besseren Verständnis der Teilbarkeitsregeln ist es zuerst wichtig, zu wissen, wann eine Zahl überhaupt teilbar ist. Eine Zahl a ist teilbar, wenn bei der Division dieser Zahl a durch eine andere Zahl b kein Rest R bleibt. 16 ist z. B. durch 4 ohne Rest teilbar. Teilst Du allerdings 16 durch 5, bleibt ein Rest von 1. Jede ganze natürliche Zahl hat mindestens zwei Teiler – sich selbst und 1. Dazu folgt hier ein Beispiel: Betrachte die Zahl 7. Sie ist durch sich selbst und 1 teilbar, wie Du hier sehen kannst: Die Besonderheit der Zahl 7 ist, dass sie ausschließlich diese beiden Teiler hat. Das macht sie zu einer sogenannten Primzahl. Doch was ist eine Primzahl genau? Eine natürliche Zahl, die nur sich selbst und 1 als Teiler hat, wird Primzahl genannt. Somit kennst Du jetzt die Grundlagen zur Teilbarkeit. Im Folgenden werden Dir die wichtigsten Teilbarkeitsregeln vorgestellt. Teilbarkeitsregel von 2Um die Teilbarkeit einer Zahl durch 2 zu prüfen, genügt es, nur die Endziffer dieser Zahl zu betrachten. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Schaue Dir dazu dieses Beispiel an. Die Zahl 226 ist durch zwei teilbar, da die letzte Ziffer eine 6 ist. Die Zahl 563 dagegen ist nicht durch zwei teilbar, da die letzte Ziffer eine 3 ist. Teilbarkeitsregel von 5 und 10Wie bei der vorherigen Regel, schaust Du Dir auch hier die Endziffer der Zahl an. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Zahl eine 5 oder eine 0 ist. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Wie sieht das in einem Beispiel aus? Die Zahl 3500 ist sowohl durch 10, als auch durch 5 teilbar, da die letzte Ziffer eine 0 ist. Die Zahl 3325 dagegen ist nur durch 5 teilbar, da die letzte Stelle eine 5 ist. Für die Teilbarkeit durch 100 oder 1000, müssen die letzten beiden bzw. die letzten drei Ziffern gleich 0 sein. Teilbarkeitsregeln von 3, 6 und 9Um zu überprüfen, ob eine Zahl durch 3, 6 oder 9 teilbar ist, wird die Quersummebetrachtet. Deshalb wird diese Regel auch Quersummenregel genannt. Die Quersumme ist die Summe der Ziffern einer mehrstelligen Zahl. Somit musst Du die einzelnen Ziffern der Zahl miteinander addieren, um die Quersumme zu erhalten. Das kannst Du im folgenden Beispiel gut sehen: Aufgabe 1 Berechne die Quersumme von 234. Lösung Teilbarkeitsregel durch 3Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar? Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Hier folgt eine Aufgabe dazu: Aufgabe 2 Ist 226 durch 3 teilbar? Lösung Um die Frage zu beantworten, berechnest Du zuerst die Quersumme. Dazu addierst Du die Ziffern miteinander. Jetzt überprüfst Du, ob 10 durch 3 teilbar ist. Da 10 nicht ohne Rest durch 3 teilbar ist, ist auch 226 nicht durch 3 teilbar. Teilbarkeitsregel durch 6Bei der Teilbarkeitsregel durch die Zahl 6 handelt es sich um eine Kombination der eben gelernten Teilbarkeitsregeln. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer geradeist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Hier kombinierst Du die Teilbarkeitsregel durch 2 mit der Teilbarkeitsregel durch 3. Das funktioniert, da 6 das Produkt von 2 und 3 ist. Demnach ist eine Zahl durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. Betrachte dazu folgendes Beispiel: Aufgabe 3 Ist die Zahl 3516 durch 6 teilbar? Lösung Zuerst überprüfst Du, ob die letzte Ziffer gerade ist. Das ist hier der Fall, da es sich um eine 6 handelt. Wenn die Zahl ungerade ist, musst Du die Quersumme gar nicht mehr überprüfen. Berechne als Nächstes die Quersumme der Zahl. Jetzt musst Du nur noch überprüfen, ob 15 durch 3 teilbar ist. Die Zahl 3516 ist somit durch 6 teilbar. Teilbarkeitsregel durch 9Ob eine Zahl durch 9 teilbar ist, kannst Du auf ähnliche Art und Weise überprüfen wie bei der Teilbarkeitsregel durch 3. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Wie bei der Teilbarkeit durch 3 bildest Du die Quersumme der Zahl. Diesmal überprüfst Du aber, ob sie durch 9 teilbar ist. Wie sieht das an einem Beispiel aus? Aufgabe 4 Ist die Zahl 1224 durch 9 teilbar? Lösung Zuerst bildest Du wieder die Quersumme der Zahl. Als Nächstes überprüfst Du, ob das Ergebnis davon durch 9 ohne Rest teilbar ist. Hier ist das der Fall. Damit ist 1224 durch 9 teilbar. Jede Zahl, die durch 9 teilbar ist, ist ebenfalls durch 3 teilbar. Andersherum gilt das aber nicht! Beweis der QuersummenregelWarum kannst Du überhaupt aus der Quersumme die Teilbarkeit von einer Zahl durch 3 oder 9 ableiten? Dazu kannst Du Dir die Zahl 1224 aus der vorherigen Ausgabe noch einmal im folgenden Beispiel genauer anschauen. Stelle Dir vor, Du hast 1224 Bonbons, die Du gleichmäßig auf 3 Personen verteilen willst. Jede Zahl kann in Zehnerpotenzen zerlegt werden. Also in 1000er-, 100er-, 10er- und 1er-Blöcke. Du ordnest Deine 1224 Bonbons in 1000er-, 100er-, 10er- und 1er-Haufen. Jetzt verteilst Du die Bonbons in jedem dieser Blöcke und beginnst beim 10er-Block. Du teilst also 10 Bonbons auf 3 Leute auf. Übrig bleibt somit 1 Bonbon. Das Gleiche machst Du für die 100er- und 1000er-Blöcke auch. Wie Du sehen kannst, bleibt bei jedem Block immer ein Bonbon übrig. Das Gleiche gilt auch für die Teilbarkeit durch 9, z. B. 100 : 9 = 11 Rest 1. Von den 1224 Bonbons wurden jetzt einmal 999, zweimal 99 und zweimal 9 verteilt. Zu verteilen sind somit noch: Die letzten 9 Bonbons können ohne Rest auf 3 Leute aufgeteilt werden. Die Zahl 9 entspricht genau der Quersumme. Teilbarkeitsregel von 4Anders als bei der Teilbarkeitsregel durch 2, 5 oder 10 musst Du bei der Teilbarkeitsregel durch 4 die letzten zwei Ziffern betrachten. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten zwei Stellen durch 4 teilbar sind. Schaue Dir einmal dieses Beispiel dazu an: Aufgabe 5 Ist die Zahl 3612 durch 4 teilbar? Lösung Du betrachtest nur die letzten zwei Ziffern von der Zahl 3612. Jetzt überprüfst Du, ob 12 restlos durch 4 teilbar ist. Das ist der Fall, somit ist 3612 durch 4 teilbar. Beweis der Teilbarkeitsregel von 4Um diese Regel zu beweisen, betrachtest Du wieder die 1224 Bonbons. Jedoch teilst Du sie dieses Mal auf vier Leute auf. Zur Erinnerung: Jede ganze natürliche Zahl lässt sich als die Summe der Zehnerpotenzen (10, 100, 1000, etc.) mal der entsprechenden Ziffer darstellen. Du teilst die Bonbons wieder in 1000er-, 100er-, 10er- und 1er-Haufen auf. Versuchst Du jetzt die 1000er- und 100er-Haufen auf 4 Leute zu verteilen, wirst Du merken, dass bei beiden Haufen kein Rest übrig bleibt, denn Versuchst Du 10 durch 4 zu teilen, erhältst Du einen Rest. 10 ist somit nicht durch 4 teilbar. Alle Zehnerpotenzen > 10 sind sicher durch 10 teilbar. Deshalb hängt die Teilbarkeit von den letzten beiden Ziffern ab. Du musst also nur noch 24 Bonbons auf vier Personen verteilen. Das passt genau. Teilbarkeitsregel von 8Bei der Teilbarkeitsregel durch 8 werden die letzten drei Ziffern einer Zahl betrachtet. Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind. Die letzten drei Stellen zu überprüfen, erscheint erst einmal nicht wie ein großer Vorteil. Doch diese Regel ist besonders bei höheren Zahlen wirklich hilfreich. Das kannst Du hier sehen: Aufgabe 6 Ist die Zahl 23018 durch 8 teilbar? Lösung Du betrachtest nur die letzten drei Ziffern, also in unserem Fall 18. Jetzt musst Du nur noch prüfen, ob 18 durch 8 teilbar ist. Da 18 nicht durch 8 teilbar ist, gilt das auch für 23018. Beweis der Teilbarkeitsregel von 8Der Beweis ähnelt sehr dem der Teilbarkeitsregel 4. Deshalb wird der Beweis an dieser Stelle etwas abgekürzt. 10 und 100 sind nicht ohne Rest durch 8 teilbar, denn Merke: Alle Zehnerpotenzen > 102 (100) sind sicher durch 8 teilbar. Da demnach erst Zehnerpotenzen ab 1000 sicher durch 8 teilbar sind, musst Du nur die letzten drei Ziffern betrachten. Übersicht der TeilbarkeitsregelnHier findest Du noch einmal eine Übersicht, in der Du die wichtigsten Teilbarkeitsregeln mit Beispielen auf einen Blick siehst.
Teilbarkeitsregeln anwenden – PrimzahlenWofür sind die Teilbarkeitsregeln in der Mathematik eigentlich nützlich? Sie erleichtern unter anderem die Primfaktorzerlegung. Um eine Zahl als Produkt von Primzahlen zu schreiben, ist es hilfreich zu wissen, ob sie durch diese teilbar ist. Erkennst Du durch die Teilbarkeitsregeln, dass eine Zahl nicht durch die Primzahlen 2, 3, 5, (7) oder 9 teilbar ist, weißt Du direkt, dass diejenige Primzahl nicht Teil der Primfaktorzerlegung ist. Das spart Zeit beim Rechnen. Teilbarkeitsregeln – AufgabenMit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein neu erlerntes Wissen über die Teilbarkeitsregeln jetzt auf die Probe stellen und es weiter vertiefen. Aufgabe 7 Prüfe, ob die Zahl 8235 durch folgende Zahlen teilbar ist. a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 Lösung a) Teilbarkeit durch 3 Berechnen der Quersumme 18 ist durch 3 teilbar, da Somit ist 8235 durch 3 teilbar. b) Teilbarkeit durch 5 Da die Endziffer eine 5 ist, ist die Zahl 8235 durch 5 teilbar. c) Teilbarkeit durch 6 Da 8235 ungerade ist, ist sie nicht durch 2 teilbar. d) Teilbarkeit durch 9 Die Quersumme 18 (siehe Aufgabe 7a) ist durch 9 teilbar, da Alternativ kannst Du erneut die Quersumme berechnen und prüfen, ob diese wieder durch 9 teilbar ist. Somit ist 8235 durch 9 teilbar. Aufgabe 8 Ist die Zahl 4728 durch 12 teilbar? Lösung Damit eine Zahl durch 12 teilbar ist, muss sie auch durch 3 und 4 teilbar sein. Teilbarkeit durch 3 Berechnen der Quersumme: Da 21 durch 3 teilbar ist, ist 4728 auch durch 3 teilbar. Teilbarkeit durch 4 Die letzten zwei Stellen – 28 – sind restlos durch 4 teilbar. Somit ist 4728 auch durch 4 teilbar. Somit ist 4728 auch durch 12 teilbar. Aufgabe 9 Wie heißt die nächstgelegene höhere Zahl zu 22020, die durch 8 teilbar ist? Lösung Die letzten 3 Ziffern müssen zusammen durch 8 teilbar sein. Du betrachtest also nur die letzten 3 Ziffern 020. Die nächstgelegene höhere Zahl ist somit 22024. Aufgabe 10 Wie heißt die nächstgelegene höhere Zahl zu 237329, die durch folgende Zahlen teilbar ist? a) 10 b) 4 Lösung a) Teilbarkeit durch 10 Die Endziffer muss eine Null sein. Die nächstgelegene höhere Zahl ist somit 237330. b) Teilbarkeit durch 4 Die letzten beiden Ziffern werden nur betrachtet. Somit ist die nächstgelegene höhere Zahl 237332. Teilbarkeitsregeln – Das Wichtigste
Was kann man alles durch 10 teilen?Teilbar durch 10, 100, 1000:
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn diese auf 0 endet. Beispiele: 23520 endet auf 0 und ist daher durch 10 teilbar ohne Rest. Zahlen wie 73721, 1332, 34243, 8479 enden nicht auf Null und sind daher nicht durch 10 teilbar (ohne Rest).
Wann ist eine Zahl durch teilbar?Wann ist eine Zahl teilbar? Eine Zahl ist dann teilbar, wenn bei der Division dieser Zahl durch eine andere Zahl kein Rest bleibt.
Ist 10 durch 2 teilbar?Zum Beispiel ist die Zahl 10 durch 2 teilbar, aber auch durch 5 teilbar. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder eine 5 ist. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
Was sind die Teilbarkeitsregeln?Teilbarkeitsregeln sind zum Beispiel: Teilbarkeit durch 2: Die letzte Ziffer muss gerade (0,2,4,6,8) sein. Teilbarkeit durch 3: Die Quersumme der Zahl muss durch 3 teilbar sein. Teilbarkeit durch 4: Die letzten zwei Ziffern müssen als Zahl durch 4 teilbar sein.
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