Basiswinkel im gleichschenkligen dreieck gleich beweis

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

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Warum sind die basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß?
Was ist der basiswinkel bei einem gleichschenkligen Dreieck?
Wie kann man beweisen dass ein Dreieck gleichschenklig ist?
Sind die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich?

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an der Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

Jedes gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Es kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Schließt die Spitze den Winkel 36∘{\displaystyle 36^{\circ }}

oder 108∘{\displaystyle 108^{\circ }}

ein, wird es Goldenes Dreieck erster bzw. zweiter Art genannt.

Mathematische Formeln zum gleichschenkligen DreieckFlächeninhaltA=c⋅hc2=c4⋅4⋅a2−c2{\displaystyle A={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}={\frac {c}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}

A=a2⋅sin⁡(γ)2{\displaystyle A={\frac {a^{2}\cdot \sin(\gamma )}{2}}}UmfangU=2⋅a+c{\displaystyle U=2\cdot a+c}Seitenlängena=b{\displaystyle a=b}c=2⋅a⋅sin⁡(γ2)=2⋅a2⋅(1−cos⁡(γ)){\displaystyle c=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)={\sqrt {2\cdot a^{2}\cdot (1-\cos(\gamma ))}}}Winkelα=β=arcsin⁡(hca){\displaystyle \alpha =\beta =\arcsin \left({\frac {h_{c}}{a}}\right)}γ=180∘−2⋅α=2⋅arcsin⁡(c2⋅a)=arccos⁡(1−c22⋅a2){\displaystyle \gamma =180^{\circ }-2\cdot \alpha =2\cdot \arcsin \left({\frac {c}{2\cdot a}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {c^{2}}{2\cdot a^{2}}}\right)}Höhe[1]ha=c2⋅a⋅4⋅a2−c2{\displaystyle h_{a}={\frac {c}{2\cdot a}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}hb=c2⋅b⋅4⋅a2−c2{\displaystyle h_{b}={\frac {c}{2\cdot b}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}hc=12⋅4⋅a2−c2{\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}Inkreisradius[1]ri=c⋅hc2⋅a+c=c⋅4⋅a2−c24⋅a+2⋅c{\displaystyle r_{i}={\frac {c\cdot h_{c}}{2\cdot a+c}}={\frac {c\cdot {\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}{4\cdot a+2\cdot c}}}Umkreisradiusru=a2⋅sin⁡(α)=b2⋅sin⁡(β)=c2⋅sin⁡(γ)=a24⋅a2−c2{\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2\cdot \sin(\alpha )}}={\frac {b}{2\cdot \sin(\beta )}}={\frac {c}{2\cdot \sin(\gamma )}}={\frac {a^{2}}{\sqrt {4\cdot a^{2}-c^{2}}}}}

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Im gleichschenkligen Dreieck ist durch zwei unterschiedlich lange Seiten sofort die dritte mitbestimmt, wenn man weiß, welche der Seiten die Basis ist. Dadurch ergibt sich ein SSS-Fall. Die Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden.

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

2α+γ=180∘{\displaystyle \textstyle 2\alpha +\gamma =180^{\circ }}

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Die fehlenden Seiten können mit dem Sinussatz berechnet werden.

Gleichschenklige Dreiecke sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse stimmt mit der Höhe, der Mittelsenkrechten (Streckensymmetrale) und der Seitenhalbierenden (Schwerlinie) der Basis und mit der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetrale) des Winkels an der Spitze überein. Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen auf dieser Symmetrieachse.

In einem gleichschenkligen Dreieck, das nicht gleichseitig ist, stimmt die eulersche Gerade also mit der Symmetrieachse überein.

Gleichschenkliges Dreieck mit

Symmetrieachse
Mittelsenkrechte und Umkreismittelpunkt
Seitenhalbierende und Schwerpunkt
Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt

Siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Jedes Sehnenvieleck, das den Mittelpunkt seines Umkreises enthält, kann von den Radien dieses Kreises, die durch seine Eckpunkte verlaufen, in gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden. Diese Dreiecke sind gleichschenklig, weil alle Radien eines Kreises gleich lang sind. Diese Zerlegung kann verwendet werden, um eine Formel für den Flächeninhalt des Polygons als Funktion seiner Seitenlängen abzuleiten, auch für Sehnenvielecke, die ihren Umkreismittelpunkt nicht enthalten. Diese Formel verallgemeinert den Satz des Heron für Dreiecke und Brahmaguptas Formel für Sehnenvierecke.

Einige besondere Polyeder haben gleichschenklige Dreiecke als Seitenflächen, zum Beispiel regelmäßige Pyramiden und regelmäßige Doppelpyramiden. Die Oberfläche einiger catalanischer Körper besteht aus kongruenten gleichschenkligen Dreiecken. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h. sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

Warum sind die basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß?

Sie sind gleich groß, da die beiden Schenkel gleich lang sind. Die Basiswinkel liegen an der Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks (Basis) an und sind gleich groß.

Was ist der basiswinkel bei einem gleichschenkligen Dreieck?

Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Die Winkel, die diesen beiden Seiten gegenüberliegen, nennt man Basiswinkel. Die Seite, die an beiden Basiswinkeln anliegt, heißt Basis. Die beiden anderen Seiten, also die beiden gleich langen Seiten, nennt man Schenkel.

Wie kann man beweisen dass ein Dreieck gleichschenklig ist?

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß („Basiswinkelsatz“). AC und BC gleich lang sind. Umgekehrt gilt auch, dass ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt, wenn die Größe zweier Winkel überein- stimmt. Höhe hc ein, die senkrecht auf AB steht und diese Strecke im Punkt Hc schneidet.

Sind die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich?

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen.