Was ist ein Vektor? Ein Vektor hat einen Betrag und eine Richtung. Vektoren lassen sich durch Pfeile darstellen, wobei die Spitze des Pfeils die Richtung anzeigt und die Länge des Pfeils den Betrag angibt.Thema: Vektor.
Definition eines Vektors
Ein Vektor besteht aus unendlich vielen parallelen Pfeilen, welche dieselbe Länge und Richtung haben. Allgemein gilt für einen Vektor folgende Schreibweise:
ax und ay sind die Koordinaten (Komponenten ) des Vektors in x- bzw. y-Richtung.
Die Spitze-minus-Schaft-Regel
Um einen Vektor zu berechnen, der von beispielsweise A nach B zeigt, also zwischen zwei Punkten liegt, subtrahiert man komponentenweise die Koordinaten des Anfangspunkts (des Schaftes vom Pfeil) vom Endpunkt (der Spitze des Pfeils).
Wann benötige ich den Betrag des Vektors?
Die Länge eines Vektors kann mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden.
Daraus ergibt sich folgende Formel:
aus:
Mathematik (AHS) Formelsammlung für die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung (ab Schuljahr 2017/18), Stand: 1. September 2017, Seite 6
Was ist der Unterschied zwischen einem Ortsvektor und einem Punkt?
Der Punkt B hat die Koordinaten B = (4, 2) und liegt an einer bestimmten Stelle. Der Ortsvektor wird als Pfeil eingezeichnet und geht von A nach B.
Die Schreibweise unterscheidet sich ebenfalls, wie in der Abbildung ersichtlich ist.
Wann werden Vektoren subtrahiert?
Werden Vektoren subtrahiert, dann bedeutet dies, dass der Vektor mit einem Gegenvektor addiert wird.
Was ist ein Gegenvektor?
Der Gegenvektor wird auch inverser Vektor genannt. Der Gegenvektor hat dabei dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor, läuft jedoch in die entgegengesetzte Richtung.
Vektor einfach erklärt
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(00:10)
Wähle einen Punkt im Koordinatensystem aus und verschiebe ihn in irgendeine Richtung. Dabei hast du eine Änderung in der x- und y-Koordinate. Diese Verschiebung des Punktes wird Vektor genannt.
Mit einem Vektor kannst du von einem Ausgangspunkt alle Punkte im Raum beschreiben. Ein Vektor in einem Koordinatensystem wird mit einem Pfeil dargestellt.
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Ein VektorHinweis: Man unterscheidet Vektoren und Skalare. Ein Skalar stellt dabei einfach eine Zahl dar.
Was ist ein Vektor?
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(00:10)
Stell dir vor, du hast einen Punkt A gegeben, und musst nun einen anderen Punkt B wählen, der eine bestimmte Länge von Punkt A entfernt ist. Verbindest du die beiden Punkte, so erhältst du die Strecke
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Merke
Eine Größe, die durch ihre Länge und Richtung gegeben ist, heißt Vektor.
Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge haben und in die gleiche Richtung zeigen.
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Ein Vektor, der durch verschiedene Pfeile repräsentiert wirdAls Notation für Vektoren verwendest du entweder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, wie zum Beispiel
Lage von Vektoren
Im folgenden Abschnitt erklären wir dir, wie verschiedene Vektoren zueinander liegen können.
Ein Vektor
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Parallele VektorenEin Vektor
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GegenvektorZwei Vektoren
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Senkrechte VektorenVektoren in einem Koordinatensystem
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(00:49)
In einem Koordinatensystem kannst du jeden Punkt durch seine Koordinatendarstellung
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Vektoren definiert durch Punkte im KoordinatensystemDabei stellt
Analog gilt das auch für die Vektoren im Raum
Beispiel
Startest du am Ursprung und gehst -1 Längeneinheiten entlang der x-Achse und 3 Längeneinheiten entlang der y-Achse, so landest du beim Punkt
Oder betrachtest du zum Beispiel den Punkt
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Zwei Vektoren durch Punkte im Koordinatensystem definiertVektoren durch zwei Punkte berechnen
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(02:48)
Hier zeigen wir dir, wie du einen Vektor berechnen kannst, wenn du zwei Punkte zur Verfügung hast.
Hast du zwei Punkte
Merke
Um den Vektor zwischen zwei Punkten zu berechnen, rechnest du Pfeilspitze minus Fuß.
Beispiel
Betrachte zum Beispiel die zwei Punkte
Das gleiche machst du auch, um die Verschiebung in der y-Achse zu berechnen. Du rechnest also die y-Koordinate von B minus die y-Koordinate von A.
Somit erhältst du den Vektor
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Der Vektor von A nach BUnterschied Ortsvektor und Richtungsvektor
Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Vektoren: Ortsvektoren und Richtungsvektoren/Verbindungsvektoren.
Ortsvektoren haben ihren Startpunkt immer am Ursprung und werden mit
Richtungsvektoren bzw. Verbindungsvektoren hingegen können ihren Startpunkt an jedem beliebigen Punkt haben und haben dementsprechend in ihrer Notation den Start- und Endpunkt, wie etwa
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Ortsvektor und RichtungsvektorLänge eines Vektors
Ein Vektor besitzt immer eine gewissen Länge. Wenn du also einen Vektor
Das heißt, du quadrierst erst die Komponenten des Vektors und ziehst dann von der Summe die Wurzel.
Beispiel
Es sei der Vektor
Möchtest du mehr Beispiele sehen? Dann schau dir unseren extra Beitrag Betrag eines Vektors dazu an!
Beispiel
Um die zwei Vektoren
Analog gehst du bei der Subtraktion vor.
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Addition und Subtraktion zweier VektorenSkalarmultiplikation
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(03:44)
Willst du einen Vektor
Beispiel
Möchtest du zum Beispiel den Vektor
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SkalarmultiplikationSkalarprodukt
Das Skalarprodukt ist eine Abbildung, die zwei Vektoren nimmt und daraus eine reelle Zahl produziert. Hast du zwei Vektoren
Ist dabei das Skalarprodukt gleich 0, so stehen die zwei Vektoren senkrecht aufeinander.
Das Skalarprodukt kann dir dabei helfen, die Länge eines Vektors zu bestimmen, denn für die Länge rechnest du
Eine weitere Verwendung des Skalarprodukts ist die Berechnung des Winkels
die im Zähler das Skalarprodukt der beiden Vektoren
Beispiel
Betrachte die Vektoren
Da das Skalarprodukt gleich 0 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
Vektoren
Graphisch veranschaulicht bedeutet das, dass sie entweder in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen (blauer und lila Vektor). Dagegen sind sie linear unabhängig, wenn sie in zwei verschiedene Richtungen zeigen (blauer und grüner Vektor).
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Linear abhängige und unabhängige Vektoren 2DDrei Vektoren
Graphisch bedeutet das, dass alle drei Vektoren in der gleichen Ebene liegen (blaue und grüne Vektoren), zeigt jedoch ein Vektor aus der Ebene heraus, so sind sie linear unabhängig (blaue und lila Vektoren).
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Linear abhängige und unabhängige Vektoren 3DBeispiel
Du hast die Vektoren
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Das Kreuzprodukt zweier VektorenVektoren Aufgaben
In diesem Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben, mit denen du die Berechnung eines Vektors üben kannst.
Lösung Aufgabe 1
Um den Vektor zu berechnen, bedienst du dich der Regel „Spitze minus Fuß“. Das heißt, zuerst berechnest du die Verschiebung entlang der x-Achse
und dann die Verschiebung entlang y-Achse
Damit erhältst du dann den Vektor
Lösung Aufgabe 2
Auch in dieser Aufgabe berechnest du den Vektor, indem du die Koordinaten von B minus die Koordinaten von A rechnest. Du rechnest also